《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例1
如图1-4-5,AB= AC,BD= CD,点P在AD上,求证：∠ABP= ∠ACP。

 

答案： 【解析】：本题考查了线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质。
连接$BC$，因为$AB = AC$，根据等腰三角形三线合一的性质（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合），可知点$A$在$BC$的垂直平分线上；又因为$BD = CD$，根据线段垂直平分线的判定定理（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），可知点$D$在$BC$的垂直平分线上。
由于两点确定一条直线，所以$AD$垂直平分$BC$，进而得到$PB = PC$。
在$\triangle ABP$和$\triangle ACP$中，$AB = AC$，$AP = AP$（公共边），$PB = PC$，满足全等三角形判定定理中的$SSS$（边边边），所以$\triangle ABP\cong\triangle ACP$，根据全等三角形的性质（全等三角形的对应角相等），可得$\angle ABP = \angle ACP$。
【答案】：证明：连接$BC$（图略）。
∵$AB = AC$，
∴点$A$在$BC$的垂直平分线上。
∵$BD = CD$，
∴点$D$在$BC$的垂直平分线上。
∴$AD$垂直平分$BC$，
∴$PB = PC$。
在$\triangle ABP$和$\triangle ACP$中，
$\begin{cases}AB = AC \\AP = AP \\PB = PC\end{cases}$
∴$\triangle ABP\cong\triangle ACP(SSS)$，
∴$\angle ABP = \angle ACP$。

变式1见答案P167
如图1 -4 -15,已知△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AD 的垂直平分线交AB于点E,交AC于点F｡求证:AF = ED｡

答案： 证明:因为 AD 是∠BAC 的平分线,所以∠BAD=∠CAD。因为 AD 的垂直平分线交 AB 于点 E,交 AC 于点 F,所以 AE=ED,∠AOE=∠AOF=90°。在△AOE 和△AOF 中,{∠EAO=∠FAO,AO=AO,∠AOE=∠AOF,所以△AOE≌△AOF(ASA),所以 AE=AF。又因为 AE=ED,所以 AF=ED。

变式2见答案P167
如图l -4 - l6,在△ABC中,∠C = 90°,AC = BC,AD平分∠CAB交BC于点D, DE⊥AB,垂足为E｡若△BDE的周长为7 cm,则AC + CD的长等于( )｡ 

A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm

答案： B

例2-1 2025·济南期末
如图1-4-6, 在△ABC中,∠ACB= 90°,AE平分∠BAC DE⊥AB,垂足为D,如果AC= 3 BC= 4,AB= 5那么△EBD 的周长等于(A)｡A.6 B.8 C.9 D.5
 

答案： 解：
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠DAE，DE=CE（角平分线上的点到角两边距离相等），
在△ACE和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ACE=∠ADE\\ ∠CAE=∠DAE\\ CE=DE\end{array}\right.$
∴△ACE≌△ADE（AAS），
∴AD=AC=3，
∵AB=5，
∴BD=AB-AD=5-3=2，
△EBD的周长=BD+BE+DE=BD+BE+CE=BD+BC=2+4=6．
答：A