《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例4
在等边三角形ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,点D为△ABC外一点,且∠MDN= 60°,∠BDC= 120°,BD= DC。探究:当M,N分别在直线AB,AC上移动时,B M,NC,MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边三角形ABC的周长L的关系。
(1)如图1-29①,当点M,N在边AB,AC上,且DM= DN时,B M,NC,MN之间的数量关系是BM+NC=MN,此时Q/L=$\frac{2}{3}$。

(2)如图1-29②,点M,N在边AB,AC上,且当DM≠DN时,第(1)问的两个结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由。
结论仍然成立。
证明如下：在NC的延长线上截取$CM_1=BM$，连接$DM_1$。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=DC，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，∠M₁CD=180°-∠ACB-∠DCB=90°，
∴∠MBD=∠M₁CD，
在△DBM和△DCM₁中，
$\left\{\begin{array}{l} BM=CM_1 \\ ∠MBD=∠M₁CD \\ BD=CD\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△DCM₁(SAS)，
∴DM=DM₁，∠BDM=∠CDM₁，
∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠BDM+∠CDN=∠BDC-∠MDN=60°，
∴∠CDM₁+∠CDN=60°，即∠M₁DN=60°，
∴∠M₁DN=∠MDN，
在△MDN和△M₁DN中，
$\left\{\begin{array}{l} DM=DM_1 \\ ∠MDN=∠M₁DN \\ DN=DN\end{array}\right.$，
∴△MDN≌△M₁DN(SAS)，
∴MN=M₁N，
∵M₁N=M₁C+NC=BM+NC，
∴MN=BM+NC，
△AMN的周长Q=AM+MN+AN=AM+BM+NC+AN=AB+AC，
∵等边三角形ABC的周长L=AB+AC+BC=3AB，
∴Q=2AB，L=3AB，
∴$\frac{Q}{L}=\frac{2}{3}$。
(3)如图1-29③,当M,N分别在边AB,CA的延长线上时,探索BM,NC,MN之间的数量关系,并给出证明。
NC-BM=MN。
证明如下：在CN上截取$CM_2=BM$，连接$DM_2$。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=DC，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，∠DCM₂=∠ACB+∠DCB=90°，
∴∠MBD=∠DCM₂，
在△DBM和△DCM₂中，
$\left\{\begin{array}{l} BM=CM_2 \\ ∠MBD=∠DCM₂ \\ BD=CD\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△DCM₂(SAS)，
∴DM=DM₂，∠BDM=∠CDM₂，
∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠BDN+∠CDN=120°，∠CDM₂+∠M₂DN=∠CDN，
∵∠BDM=∠CDM₂，
∴∠BDM+∠BDN=∠CDM₂+∠BDN=60°，
∴∠M₂DN=∠BDC-(∠CDM₂+∠BDN)=120°-60°=60°，
∴∠M₂DN=∠MDN，
在△MDN和△M₂DN中，
$\left\{\begin{array}{l} DM=DM_2 \\ ∠MDN=∠M₂DN \\ DN=DN\end{array}\right.$，
∴△MDN≌△M₂DN(SAS)，
∴MN=M₂N，
∵M₂N=NC-CM₂=NC-BM，
∴NC-BM=MN。

答案：
(1) BM+NC=MN；$\frac{2}{3}$
(2) 结论仍然成立。
证明如下：在NC的延长线上截取$CM_1=BM$，连接$DM_1$。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=DC，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，∠M₁CD=180°-∠ACB-∠DCB=90°，
∴∠MBD=∠M₁CD，
在△DBM和△DCM₁中，
$\left\{\begin{array}{l} BM=CM_1 \\ ∠MBD=∠M₁CD \\ BD=CD\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△DCM₁(SAS)，
∴DM=DM₁，∠BDM=∠CDM₁，
∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠BDM+∠CDN=∠BDC-∠MDN=60°，
∴∠CDM₁+∠CDN=60°，即∠M₁DN=60°，
∴∠M₁DN=∠MDN，
在△MDN和△M₁DN中，
$\left\{\begin{array}{l} DM=DM_1 \\ ∠MDN=∠M₁DN \\ DN=DN\end{array}\right.$，
∴△MDN≌△M₁DN(SAS)，
∴MN=M₁N，
∵M₁N=M₁C+NC=BM+NC，
∴MN=BM+NC，
△AMN的周长Q=AM+MN+AN=AM+BM+NC+AN=AB+AC，
∵等边三角形ABC的周长L=AB+AC+BC=3AB，
∴Q=2AB，L=3AB，
∴$\frac{Q}{L}=\frac{2}{3}$。
(3) NC-BM=MN。
证明如下：在CN上截取$CM_2=BM$，连接$DM_2$。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=DC，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，∠DCM₂=∠ACB+∠DCB=90°，
∴∠MBD=∠DCM₂，
在△DBM和△DCM₂中，
$\left\{\begin{array}{l} BM=CM_2 \\ ∠MBD=∠DCM₂ \\ BD=CD\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△DCM₂(SAS)，
∴DM=DM₂，∠BDM=∠CDM₂，
∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠BDN+∠CDN=120°，∠CDM₂+∠M₂DN=∠CDN，
∵∠BDM=∠CDM₂，
∴∠BDM+∠BDN=∠CDM₂+∠BDN=60°，
∴∠M₂DN=∠BDC-(∠CDM₂+∠BDN)=120°-60°=60°，
∴∠M₂DN=∠MDN，
在△MDN和△M₂DN中，
$\left\{\begin{array}{l} DM=DM_2 \\ ∠MDN=∠M₂DN \\ DN=DN\end{array}\right.$，
∴△MDN≌△M₂DN(SAS)，
∴MN=M₂N，
∵M₂N=NC-CM₂=NC-BM，
∴NC-BM=MN。