《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例5-2
如图1-22,已知A,F,E,B四点共线,AC⊥CE,BD⊥DF,AE= BF,AC= BD。求证:△ACF≌△BDE。

 

答案： 【解析】：本题主要考查全等三角形的判定，涉及到直角三角形全等的判定定理（HL）以及一般三角形全等的判定定理（SAS）。首先根据已知条件$AC\perp CE$，$BD\perp DF$得出$\angle ACE = \angle BDF = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle ACE$和$Rt\triangle BDF$中，利用$AE = BF$，$AC = BD$，根据直角三角形全等的判定定理（HL）证明$Rt\triangle ACE\cong Rt\triangle BDF$，从而得到$\angle A=\angle B$，再由$AE = BF$推出$AF = BE$，最后在$\triangle ACF$和$\triangle BDE$中，根据$AF = BE$，$\angle A=\angle B$，$AC = BD$，利用一般三角形全等的判定定理（SAS）证明$\triangle ACF\cong\triangle BDE$。
【答案】：
证明：
∵$AC\perp CE$，$BD\perp DF$，
∴$\angle ACE = \angle BDF = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ACE$和$Rt\triangle BDF$中，
$\begin{cases}AE = BF\\AC = BD\end{cases}$
∴$Rt\triangle ACE\cong Rt\triangle BDF(HL)$，
∴$\angle A=\angle B$。
∵$AE = BF$，
∴$AE - EF = BF - EF$，
即$AF = BE$。
在$\triangle ACF$和$\triangle BDE$中，
$\begin{cases}AF = BE\\\angle A=\angle B\\AC = BD\end{cases}$
∴$\triangle ACF\cong\triangle BDE(SAS)$。

【深入探究】第一种情况:当∠B是直角时,△ABC≌△DEF。
(1)如图1-23①,在△ABC和△DEF,AC= DF,BC= EF,∠B= ∠E= 90°,根据HL(填判定方法),可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF。
第二种情况:当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF。
(2)如图1-23②,在△ABC和△DEF,AC= DF,BC= EF,∠B= ∠E,且∠B,∠E都是钝角,求证:△ABC≌△DEF。
证明：过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于点H，
∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC，∠DEF都是钝角，
∴180°-∠ABC=180°-∠DEF，即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠CBG=∠FEH\\ ∠G=∠H=90°\\ BC=EF\end{array}\right.$
∴△CBG≌△FEH(AAS)，
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=DF\\ CG=FH\end{array}\right.$
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠D\\ ∠ABC=∠DEF\\ AC=DF\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DEF(AAS)
第三种情况:当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等。
(3)在△ABC和△DEF,AC= DF,BC= EF,∠B= ∠E,且∠B,∠E都是锐角,请你利用图1-23③,在图1-23③中用尺规作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等。(不写作法,保留作图痕迹,标出相应的字母)
（作图痕迹略，需在图1-23③中作出与△ABC不全等的△DEF）
(4)在△ABC和△DEF中,AC= DF,BC= EF,∠B= ∠E,且∠B,∠E都是锐角,∠B和∠A还要满足∠B≥∠A,就可以使△ABC≌△DEF。

答案：
(1) HL
(2) 证明：过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于点H，
∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC，∠DEF都是钝角，
∴180°-∠ABC=180°-∠DEF，即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠CBG=∠FEH\\ ∠G=∠H=90°\\ BC=EF\end{array}\right.$
∴△CBG≌△FEH(AAS)，
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=DF\\ CG=FH\end{array}\right.$
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠D\\ ∠ABC=∠DEF\\ AC=DF\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DEF(AAS)
(3) （作图痕迹略，需在图1-23③中作出与△ABC不全等的△DEF）
(4) ∠B≥∠A