《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

11. 计算$(\sqrt{48} - \sqrt{27}) ÷ \sqrt{3} × \sqrt{2}$的值为(A)
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{5}$

答案： A

12. 若$a = \sqrt{2} × (\sqrt{7} - \sqrt{2})$,则表示实数$a$的点会落在如图所示数轴的(B)

A.段①上
B.段②上
C.段③上
D.段④上

答案： B

13. 若$x = \sqrt{2} - 1$,则代数式$x^2 + 2x + 2$的值为(C)
A.$3 + 2\sqrt{2}$
B.$4$
C.$3$
D.$2$

答案： C

14. 下列计算正确的是(D)

A.$(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 9 - 2 × 3 = 3$
B.$(2\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 2x - y$
C.$(3 - \sqrt{3})^2 = 3^2 - (\sqrt{3})^2 = 6$
D.$\frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 4$

答案： D

15. 运算能力 计算：
(1) $\sqrt{3}(1 - \sqrt{3}) + \sqrt{12} + (\frac{1}{3})^{-1}$；
(2) $(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) - (-\frac{1}{3})^{-2} + |1 - \sqrt{2}| - (\pi - 2)^0 + \sqrt{8}$。

答案： 解:
(1)原式=$\sqrt{3}-3+2\sqrt{3}+3=3\sqrt{3}$;
(2)原式=$5-1-9+\sqrt{2}-1-1+2\sqrt{2}=-7+3\sqrt{2}$.

16. 易错题 已知$x = \sqrt{6} + 2$,$y = \sqrt{6} - 2$,求下列代数式的值。
(1) $x^2 + y^2 - xy$；
(2) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$。

答案： 解:$\because x=\sqrt{6}+2,y=\sqrt{6}-2$,
$\therefore x+y=2\sqrt{6},xy=2$.
(1)$x^{2}+y^{2}-xy=(x+y)^{2}-3xy=(2\sqrt{6})^{2}-3×2=18$;
(2)$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}=\frac{(x+y)^{2}-2xy}{xy}=\frac{(2\sqrt{6})^{2}-2×2}{2}=10$.

17. 数形结合思想 如图,在一个正方形的内部放置两个大小不同的正方形,其中较小的正方形的面积为$9$,重叠部分的面积为$1$,空白部分的面积为$8\sqrt{3} - 4$,求较大的正方形的面积。

答案： 解:观察可知,两个空白部分的长相等,宽也相等,易知重叠部分也为正方形,$\because$ 空白部分的面积为$8\sqrt{3}-4$,$\therefore$ 一个空白长方形面积=$4\sqrt{3}-2$,
$\because$ 较小的正方形的面积为9,重叠部分面积为1,$\therefore$ 小正方形边长=$\sqrt{9}=3$,重叠部分边长=$\sqrt{1}=1$,$\therefore$ 空白部分的宽=$3-1=2$,设空白部分长为$x$,可得$2x=4\sqrt{3}-2$,解得$x=2\sqrt{3}-1$,
$\therefore$ 较大的正方形的边长=空白部分的长+重叠部分边长=$2\sqrt{3}-1+1=2\sqrt{3}$,
$\therefore$ 较大的正方形的面积=$(2\sqrt{3})^{2}=12$.

18. 生活实践 应用意识 剪纸是一门古老的传统民间艺术,具有明显的地域特色和极高的艺术价值。为传承这一艺术,某中学举办剪纸艺术大赛,要求参赛作品的面积在$20\ dm^2$以上。如图,这是小悦同学的参赛作品(单位：$dm$)。
(1) 通过计算,判断小悦的作品是否符合参赛标准；
(2) 小涵给小悦提出建议：在参赛作品周围贴上金色彩条,这样参赛作品更漂亮,则需要彩条的长度约为多少？(彩条的宽度忽略不计,结果保留一位小数,参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$)

答案： 解:
(1)由题意可知$\sqrt{18}×\sqrt{32}=24(dm^{2})$.$\because 24＞20$,$\therefore$ 小悦的作品符合参赛标准;
(2)由题意可得$2(\sqrt{18}+\sqrt{32})=2×(3\sqrt{2}+4\sqrt{2})=14\sqrt{2}\approx19.6$ (dm),$\therefore$ 需要彩条的长度约为19.6 dm.