《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

17. (5 分)沿图形中的虚线,分别把下面的图形划分为两个全等图形。

答案：
解:如图所示.(画法不唯一)

18. (5 分)如图,已知线段 $a$ 和 $\angle \alpha$,求作 $\triangle ABC$,使 $AB = a$,$AC = 2a$,$\angle A = \frac{1}{2}\angle \alpha$。(使用直尺和圆规,不写画法,保留作图痕迹)

答案：
解:如图所示,△ABC为所求作.

19. (6 分)如图,$BD$ 是 $\angle ABC$ 的平分线,$AB = BC$,点 $E$ 在 $BD$ 上,连接 $AE$,$CE$,过点 $D$ 作 $DF \perp AE$,$DG \perp CE$,垂足分别是 $F$,$G$,$EF = 3$。
(1)求证：$\triangle ABE \cong \triangle CBE$；
(2)求 $EG$ 的长。

答案： 解:
(1)证明:
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABE=∠CBE.在△ABE和△CBE中,{AB=CB,∠ABE=∠CBE,BE=BE,
∴△ABE≌△CBE(SAS);
(2)由
(1)知△ABE≌△CBE,
∴∠AEB=∠CEB,
∵∠AEB+∠FED=∠CEB+∠GED=180°,
∴∠FED=∠GED,
∵DF⊥AE,DG⊥CE,
∴∠EFD=∠EGD=90°,在△FDE和△GDE中,{∠EFD=∠EGD,∠FED=∠GED,ED=ED,
∴△EDF≌△EDG(AAS),
∴EG=EF=3.

20. (7 分)如图,已知点 $C$,$D$ 分别在 $OA$,$OB$ 上,$AD$,$BC$ 相交于点 $P$,且 $OA = OB$,$OC = OD$。
(1)求证：$\triangle APC \cong \triangle BPD$；
(2)点 $P$ 在 $\angle AOB$ 的平分线上吗？为什么？

答案： 解:
(1)证明:在△AOD与△BOC中,{AO=BO,∠O=∠O,OD=OC,
∴△AOD≌△BOC(SAS),
∴∠A=∠B,
∵AO - OC=BO - OD,
∴AC=BD,在△APC与△BPD中,{∠A=∠B,∠APC=∠BPD,AC=BD,
∴△APC≌△BPD(AAS);
(2)点P在∠AOB的平分线上,理由:在题图上连接OP,由
(1)知,△APC≌△BPD,
∴PC=PD,在△PCO与△PDO中,{OC=OD,PC=PD,OP=OP,
∴△PCO≌△PDO(SSS),
∴∠COP=∠DOP,
∴点P在∠AOB的平分线上.

21. (7 分)推理能力 将等边三角形 $ABC$ 与等边三角形 $BDE$ 按如图所示的位置放置,连接 $AD$,$CE$,交点为 $O$,$M$,$N$ 分别是线段 $AD$,$CE$ 的中点,连接 $BM$,$MN$,$BN$。
(1)求证：$\triangle ABD \cong \triangle CBE$。
(2)求 $\angle MBN$ 的度数。

答案： 解:
(1)证明:
∵等边三角形ABC,等边三角形BDE,
∴AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=60°,
∴∠ABC+∠DBC=∠DBE+∠DBC,
∴∠ABD=∠CBE,在△ABD和△CBE中,{AB=CB,∠ABD=∠CBE,BD=BE,
∴△ABD≌△CBE(SAS);
(2)由
(1)知△ABD≌△CBE,
∴∠BAD=∠BCE,AD=CE,
∵M,N分别是线段AD,CE的中点,
∴AM=$\frac{1}{2}$AD,CN=$\frac{1}{2}$CE,
∴AM=CN,在△ABM和△CBN中,{AB=CB,∠BAM=∠BCN,AM=CN,
∴△ABM≌△CBN(SAS),
∴∠ABM=∠CBN,
∴∠ABM+∠MBC=∠CBN+∠MBC,
∴∠MBN=∠ABC=60°.

22. (7 分)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$CA = CB$,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle A = 45^{\circ}$,$AD = CD$,$\angle ACB$ 的平分线 $CG$ 交 $BD$ 于点 $G$,作 $\angle FDA = \angle BDC$。
(1)求证：$\triangle AFD \cong \triangle CGD$；
(2)如图 2,连接 $CF$ 交 $BD$ 于 $E$。求证：$BD \perp FC$；
(3)若 $BG = 12$,$DE = 5$,求 $\triangle FDC$ 的面积。

答案： 解:
(1)证明:
∵∠ACB=90°,∠ACB的平分线CG交BD于点G,∠A=45°,
∴∠DCG=∠BCG=45°=∠A,在△AFD和△CGD中,{∠FDA=∠GDC,AD=CD,∠A=∠DCG,
∴△AFD≌△CGD(ASA);
(2)证明:由
(1)可知,△AFD≌△CGD,
∴AF=CG,在△ACF和△CBG中,{AF=CG,∠A=∠BCG,CA=BC,
∴△ACF≌△CBG(SAS),
∴∠ACF=∠CBG,
∵∠ACF+∠BCE=∠ACB=90°,
∴∠CBG+∠BCE=90°,
∴∠BEC=90°,
∴BD⊥FC;
(3)由
(2)可知,△ACF≌△CBG,BG=12,
∴CF=BG=12,
∵BD⊥FC,DE=5,
∴S△FDC=$\frac{1}{2}$CF·DE=$\frac{1}{2}$×12×5=30.