《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

17. 运算能力 计算：
(1) $2\sqrt{12} + 3\sqrt{3} - \sqrt{27}$；
(2) $(\sqrt{2} - 1)^2 + 2\sqrt{8} - (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)$。

答案： 解:
(1)原式$=4\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=4\sqrt{3}$;
(2)原式$=2 - 2\sqrt{2}+1 + 4\sqrt{2}-(5 - 4)=2 - 2\sqrt{2}+1 + 4\sqrt{2}-1=2\sqrt{2}+2$.

18. 已知$x = \sqrt{n + 3} - \sqrt{n + 1}$,$y = \sqrt{n + 2} - \sqrt{n}$,试比较$x$,$y$的大小。

答案： 解:$\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{n + 3}-\sqrt{n + 1}}=\frac{\sqrt{n + 3}+\sqrt{n + 1}}{2}＞0$,
$\frac{1}{y}=\frac{1}{\sqrt{n + 2}-\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n + 2}+\sqrt{n}}{2}＞0$,
$\because \sqrt{n + 3}+\sqrt{n + 1}＞\sqrt{n + 2}+\sqrt{n}＞0$,
$\therefore \frac{1}{x}＞\frac{1}{y}＞0,\therefore x ＜ y$.

19. 已知$a - b = \sqrt{3} + \sqrt{2}$,$b - c = \sqrt{3} - \sqrt{2}$,求$2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$的值。

答案： 解:$\because a - b = \sqrt{3} + \sqrt{2}$,$b - c = \sqrt{3} - \sqrt{2}$,$\therefore a - c=2\sqrt{3}$.
$\therefore 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)=2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca=(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=22$.

20. 学习完《二次根式》后,聪聪发现了下面这类有趣味的试题,请你根据他的探索过程,解答下列问题：
具体运算,发现规律
(1) $\sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} = 1 + \frac{1}{1×2} = \frac{3}{2}$,$\sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} = 1 + \frac{1}{2×3} = \frac{7}{6}$,$\sqrt{1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}} = 1 + \frac{1}{3×4} = \frac{13}{12}$……
计算：$\sqrt{1 + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2}} = $$\frac{21}{20}$；
观察归纳,写出结论
(2) $\sqrt{1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n + 1)^2}} = $$1 + \frac{1}{n(n + 1)}$($n\geqslant1且n$为正整数)；
灵活运用,提升能力
(3) 请利用你所发现的规律,计算$\sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}} + … + \sqrt{1 + \frac{1}{9^2} + \frac{1}{10^2}}$的值。

解:原式$=1+\frac{1}{1× 2}+1+\frac{1}{2× 3}+1+\frac{1}{3× 4}+\cdots +1+\frac{1}{9× 10}=9+(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{9}-\frac{1}{10})=9+(1-\frac{1}{10})=\frac{99}{10}$

答案： 解:
(1)$\sqrt{1 + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2}} = 1 + \frac{1}{4×5} = \frac{21}{20}$
(2)$\sqrt{1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n + 1)^2}} = 1 + \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{n(n + 1)+1}{n(n + 1)}$
(3)原式$=1+\frac{1}{1× 2}+1+\frac{1}{2× 3}+1+\frac{1}{3× 4}+\cdots +1+\frac{1}{9× 10}=9+(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{9}-\frac{1}{10})=9+(1-\frac{1}{10})=\frac{99}{10}$.