《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

23. (7 分)如图,小北在公园玩双层型滑梯,每层楼梯的高度相同($BD = DE$),都为 $2$ m,他想知道左右两个滑梯 $AE$ 和 $GH$ 的长度是否相等,于是制定了如下方案：

(1)根据小北的测量方案和数据,判断两个滑梯 $AE$ 和 $GH$ 的长度是否相等？并说明理由；
(2)猜想左右两个滑梯 $AE$ 和 $GH$ 所在直线的位置关系,并加以证明。

答案： 解:
(1)AE=GH,理由如下:由题意可知,∠ABE=∠GIH=90°,AB=GI=DB=2m,BE=2×2=4(m)=IH.在△ABE和△GIH中,{AB=GI,∠ABE=∠GIH,BE=IH,
∴△ABE≌△GIH(SAS),
∴AE=GH,即AE和GH的长度相等;
(2)AE⊥HG.证明:在题图上延长HG交AE于点C.
∵△ABE≌△GIH,
∴∠AEB=∠GHI.由题意得∠ABE=90°,
∴∠AEB+∠A=90°,
∴∠GHI+∠A=90°,
∴∠ACH=90°,
∴AE⊥GH.

24. (8 分)材料阅读题 【阅读理解】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题：
如图 1,在 $\triangle ABC$ 中,若 $AB = 8$,$AC = 6$,求 $BC$ 边上的中线 $AD$ 的取值范围。小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法：延长 $AD$ 到点 $E$,使 $DE = AD$,请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到 $\triangle ADC \cong \triangle EDB$ 的理由是(B)
A. SSS
B. SAS
C. AAS
D. ASA
(2)$AD$ 的取值范围是(C)
A. $6 ＜ AD ＜ 8$
B. $6 \leq AD \leq 8$
C. $1 ＜ AD ＜ 7$
D. $6 \leq AD \leq 7$
【感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中。
【问题解决】(3)如图 2,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线,$BE$ 交 $AC$ 于点 $E$,交 $AD$ 于点 $F$,且 $AE = EF$。求证：$AC = BF$。

答案： 解:
(1)B
(2)C
(3)证明:在题图2上延长AD到点M,使AD=DM,连接BM,
∵AD是△ABC中线,
∴CD=BD,在△ADC和△MDB中,{DC=DB,∠ADC=∠MDB,DA=DM,
∴△ADC≌△MDB(SAS),
∴BM=AC,∠CAD=∠M,
∵AE=EF,
∴∠CAD=∠AFE,
∵∠AFE=∠BFD,
∴∠BFD=∠CAD=∠M,
∴BF=BM=AC,即AC=BF.