《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

1. 计算：$\frac{\sqrt{18}}{3}+|\sqrt{2}-2|+2024^{0}-(-1)$。

答案： 解:原式=$\sqrt{2}+2-\sqrt{2}+1-(-1)=4$.

2. 计算：$(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})+(1+\sqrt{5})^{2}$。

答案： 解:原式=$1-5+1+2\sqrt{5}+5=2+2\sqrt{5}$.

3. 化简：$\frac{a\sqrt{a}-a\sqrt{b}}{a-\sqrt{ab}}-\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

答案： 解:原式=$\frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}-\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=$$\sqrt{a}-(\sqrt{a}-\sqrt{b})=\sqrt{a}-\sqrt{a}+$$\sqrt{b}=\sqrt{b}$.

4. 运算能力 大家知道$\sqrt{2}$是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来,而$1＜\sqrt{2}＜2$,于是可用$\sqrt{2}-1来表示\sqrt{2}$的小数部分。请解答下列问题：
(1)$\sqrt{21}$的整数部分是4,小数部分是$\sqrt{21}-4$；
(2)如果$\sqrt{7}的小数部分为a$,$\sqrt{15}-1的整数部分为b$,求$a+b-\sqrt{7}$的值。
解:$\because\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$,$\therefore2＜\sqrt{7}＜3$,$\because\sqrt{7}$的小数部分为a,$\therefore a=\sqrt{7}-2$,$\because\sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$,$\therefore3＜\sqrt{15}＜4$,$\therefore2＜\sqrt{15}-1＜3$,$\therefore\sqrt{15}-1$的整数部分b=2,$\therefore a+b-\sqrt{7}=\sqrt{7}-2+2-\sqrt{7}=0$.

答案： 解:
(1)4 $\sqrt{21}-4$
(2)$\because\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$,$\therefore2＜\sqrt{7}＜3$,$\because\sqrt{7}$的小数部分为a,$\therefore a=\sqrt{7}-2$,$\because\sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$,$\therefore3＜\sqrt{15}＜4$,$\therefore2＜\sqrt{15}-1＜3$,$\therefore\sqrt{15}-1$的整数部分b=2,$\therefore a+b-\sqrt{7}=\sqrt{7}-2+2-\sqrt{7}=0$.

5. 已知$a= \sqrt{6}+\sqrt{2}$,$b= \sqrt{6}-\sqrt{2}$,求$a^{2}-b^{2}$的值。

答案： 解:$\because a=\sqrt{6}+\sqrt{2}$,$b=\sqrt{6}-\sqrt{2}$,$\therefore a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)=(\sqrt{6}+\sqrt{2}+$$\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{6}+$$\sqrt{2})=2\sqrt{6}×2\sqrt{2}=8\sqrt{3}$.

6. 已知$x= \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$,$y= \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$,求$x^{2}-xy+y^{2}$。

答案： 解:$\because x=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$,$y=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$,$\therefore x+y=\sqrt{5}$,$xy=\frac{1}{2}$,$\therefore x^{2}-xy+y^{2}=(x+y)^{2}-3xy=(\sqrt{5})^{2}-3×$$\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$.

7. 材料阅读理解 在学习二次根式的过程中,小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系,例如：由$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)= 1$,可得$\sqrt{2}+1与\sqrt{2}-1$互为倒数,即$\frac{1}{\sqrt{2}+1}= \sqrt{2}-1$,$\frac{1}{\sqrt{2}-1}= \sqrt{2}+1$。类似地,$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}= \sqrt{3}-\sqrt{2}$,$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}= \sqrt{3}+\sqrt{2}$；$\frac{1}{2+\sqrt{3}}= 2-\sqrt{3}$,$\frac{1}{2-\sqrt{3}}= 2+\sqrt{3}$；…。根据小腾发现的规律,解决下列问题：
(1)$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=$$\sqrt{6}-\sqrt{5}$；($n$为正整数)
(2)计算$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$的值为9。

答案：
(1)$\sqrt{6}-\sqrt{5}$
(2)9