《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

17. (6分)如图,△AGB与△CGD关于点G中心对称,若点E,F分别在GA,GC上,且AE= CF,求证:BF= DE.

答案： 证明:
∵△AGB与△CGD关于点G中心对称,
∴BG=DG,AG=CG,
∵AE=CF,
∴AG - AE=CG - CF,
即EG=FG,
又
∵∠DGE=∠BGF,
∴△DGE≌△BGF(SAS),
∴BF=DE.

18. (6分)如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A,B,C在小正方形的格点上.
(1)在图中画出△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C';
(2)求△ABC的面积;
(3)在直线l上找一点P,使PB+PC的长最短,标出点P.

答案： 解:
(1)如图所示,△A'B'C'即为所求;
(2)△ABC的面积=$2×4-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×1×4=8 - 1 - 2 - 2=3$;
(3)如图所示,点P即为所求.

19. (8分)下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程.
已知:如图,△ABC.
求作:△ABC中BC边上的高线AD.
作法:①以点B为圆心,BA的长为半径作弧,以点C为圆心,CA的长为半径作弧,两弧在BC下方交于点E;
②连接AE交BC于点D.
所以线段AD是△ABC中BC边上的高线.
根据小东设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:连接BE,CE,
∵BE= BA,CE= CA,
∴点B,C分别在线段AE的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)(填推理的依据).
∴BC垂直平分线段AE.
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线.

答案： 解:
(1)图形如图所示;
(2)BE CE BE CE 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上

20. (10分)推理能力 如图,△ABC中,∠BAC= 80°,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
(1)求∠PAQ的度数;
(2)若△APQ周长为12,BC长为8,求PQ的长.

解:
(1)设∠PAQ=x,∠CAP=y,∠BAQ=z,
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC,
∴AP=PB,AQ=CQ,
∴易求得∠B=∠BAP=x+z,
∠C=∠CAQ=x+y,
∵∠BAC=80°,
∴∠B+∠C=100°,
即$x + y + z = 80$,$x + z + x + y = 100°$,
∴x=20°,
∴∠PAQ=20°;
(2)
∵△APQ周长为12,
∴AQ+PQ+AP=12,
∵AQ=CQ,AP=PB,
∴CQ+PQ+PB=12,
∴CQ+BQ+2PQ=12,
∴BC+2PQ=12,
∵BC=8,
∴PQ=2.

答案： 解:
(1)设∠PAQ=x,∠CAP=y,∠BAQ=z,
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC,
∴AP=PB,AQ=CQ,
∴易求得∠B=∠BAP=x+z,
∠C=∠CAQ=x+y,
∵∠BAC=80°,
∴∠B+∠C=100°,
即$x + y + z = 80$,$x + z + x + y = 100°$,
∴x=20°,
∴∠PAQ=20°;
(2)
∵△APQ周长为12,
∴AQ+PQ+AP=12,
∵AQ=CQ,AP=PB,
∴CQ+PQ+PB=12,
∴CQ+BQ+2PQ=12,
∴BC+2PQ=12,
∵BC=8,
∴PQ=2.