《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

10. 用换元法解方程$\frac{2x}{x^2 + 1} - \frac{x^2 + 1}{x} + 1 = 0$时,如果设$\frac{x}{x^2 + 1} = y$,那么原方程可变形为(A)
A.$2y^2 + y - 1 = 0$
B.$y^2 + 2y - 1 = 0$
C.$y^2 - 2y + 1 = 0$
D.$2y^2 - y + 1 = 0$

答案： A

11. 用换元法解方程：$\frac{x + 1}{x} - \frac{9x}{x + 1} = 0$。

答案： 解:设y=(x+1)/x,则原方程化为y-9/y=0.方程两边同时乘y,得y²-9=0,解得y=±3.经检验:y=±3都是y-9/y=0的解.当y=3时,(x+1)/x=3,解得x=1/2.当y=-3时,(x+1)/x=-3,解得x=-1/4.经检验x=1/2和x=-1/4都是原分式方程的解.所以原分式方程的解为x=1/2和x=-1/4.

12. 已知关于$x的分式方程\frac{k}{x - 2} - \frac{3}{x - 2} = 1$有增根,则$k$的值为(D)
A.$2$
B.$-2$
C.$-3$
D.$3$

答案： D

13. 关于$x的分式方程\frac{2m + x}{x - 3} - 1 = \frac{2}{x}$,以下说法错误的是(A)
A.分式方程的增根是$x = 0或x = 3$
B.若分式方程有增根,则$m = -\frac{3}{2}$
C.若分式方程无解,则$m = -\frac{1}{2}或m = -\frac{3}{2}$
D.分式方程的增根是$x = 3$

答案： A

14. 已知关于$x的分式方程\frac{x - 3}{x - 2} = \frac{mx}{2 - x}$。
(1)当$m$为何值时,分式方程有增根？
(2)当$m$为何值时,分式方程无解？

答案： 解:
(1)(x-3)/(x-2)=mx/(2-x),去分母,得x-3=-mx,移项,得x+mx=3,合并同类项,得(1+m)x=3,解得x=3/(1+m),因为分式方程有增根,所以3/(1+m)=2,所以m=1/2;
(2)由
(1)得,(1+m)x=3,因为分式方程无解,所以(1+m)x=3无解或该分式方程有增根,所以m=-1或m=1/2.

15. 若分式方程$\frac{?}{x - 2} + 3 = \frac{1}{2 - x}$有增根,且方程无解。
(1)方程的增根是x=2；
(2)求出分式方程中“？”所代表的数。
解:将关于x的分式方程?/(x-2)+3=1/(2-x)的两边都乘x-2,得?+3(x-2)=-1,把x=2代入得,?=-1.

答案： 解:
(1)x=2
(2)将关于x的分式方程?/(x-2)+3=1/(2-x)的两边都乘x-2,得?+3(x-2)=-1,把x=2代入得,?=-1.

16. 过程纠错题 下面是小亮同学解方程$\frac{1}{2 - x} = 3 - \frac{x - 1}{x - 2}$的过程,请阅读并完成相应任务。
解：去分母得,$1 = 3 + (x - 1)$,…第一步,
去括号得,$1 = 3 + x - 1$,…第二步,
解得$x = -1$,…第三步,
检验：当$x = -1$时,$2 - x \neq 0$,…第四步,
$\therefore x = -1$是原方程的根。…第五步。
任务：(1)小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误,错误的原因是去分母时3没有乘公分母2-x；
(2)请你改正并写出完整的解方程过程；
(3)解分式方程产生增根的原因去分母时,在分式方程两边同乘公分母,将其转化为整式方程,若该整式方程的解恰好使公分母为零,就产生增根。
(2)去分母得，1=3(2-x)+(x-1)，去括号得，1=6-3x+x-1，移项、合并同类项，得2x=4，解得x=2，检验：把x=2代入得，2-x=0，∴x=2是增根，故分式方程无解；

答案： 解:
(1)一 去分母时3没有乘公分母2-x
(2)去分母得,1=3(2-x)+(x-1),去括号得,1=6-3x+x-1,移项、合并同类项,得2x=4,解得x=2,检验:把x=2代入得,2-x=0,
∴x=2是增根,故分式方程无解;
(3)去分母时,在分式方程两边同乘公分母,将其转化为整式方程,若该整式方程的解恰好使公分母为零,就产生增根.