《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

1. $x = 2是分式方程\frac{a}{x} = \frac{1}{x - 3}$的解,则$a = $(B)
A.$2$
B.$-2$
C.$4$
D.$-4$

答案： B

2. 方程$\frac{3}{x(x - 3)} = \frac{1}{x - 3}$的解为(D)
A.$x = 3$
B.$x = -1$
C.$x = 3或-1$
D.无解

答案： D

3. 分式$\frac{3}{x}与\frac{2}{1 - x}$互为相反数,则$x$的值为(C)
A.$1$
B.$-1$
C.$3$
D.$-3$

答案： C

4. 嘉淇准备完成题目：解方程$\frac{2}{□} + \frac{1}{x + 2} = 0$。发现分母的位置印刷不清,查阅答案后发现标准答案是$x = -1$,请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是(A)
A.$x - 1$
B.$-x - 1$
C.$x + 1$
D.$x^2 - 1$

答案： A

5. 如果分式$\frac{a - 2b}{a - b}$的值为1,那么$b$的值是0。

答案： 0

6. 新定义问题 定义：$a*b = \frac{a}{b}$,当$3*(x + 1) = 2*x$时,$x$的值为2。

答案： 2

7. 运算能力 解方程：
(1) $\frac{1 - x}{x + 1} = \frac{3}{x^2 - 1} - 1$；
(2) $\frac{1 - x}{x - 3} = \frac{x}{2x - 6} - 1$。

答案： 解:
(1)方程两边同时乘(x+1)(x-1),得(1-x)(x-1)=3-(x²-1),去括号,得x-1-x²+x=3-x²+1,解得x=5/2,检验:x=5/2时,(x+1)(x-1)≠0,
∴x=5/2是分式方程的解;
(2)方程两边同时乘(2x-6),得2(1-x)=x-(2x-6),去括号,得2-2x=x-2x+6,解得x=-4,检验:x=-4时,2x-6≠0.
∴x=-4是原分式方程的解.

8. 已知关于$x的分式方程\frac{1 - m}{x - 1} - 1 = \frac{2}{1 - x}$的解是正数,求$m$的取值范围。

答案： 解:方程两边同时乘x-1,得1-m-(x-1)=-2,解得x=4-m.
∵x为正数,
∴4-m＞0,解得m＜4,
∵x≠1,
∴4-m≠1,即m≠3,
∴m的取值范围是m＜4且m≠3.

9. 规律探究 解方程：
①$\frac{1}{x + 1} = \frac{2}{x + 1} - 1的解为x = 0$；
②$\frac{2}{x + 1} = \frac{4}{x + 1} - 1的解为x = 1$；
③$\frac{3}{x + 1} = \frac{6}{x + 1} - 1的解为x = 2$；
④$\frac{4}{x + 1} = \frac{8}{x + 1} - 1的解为x = 3$；
…
(1)请根据发现的规律直接写出第⑤、⑥个方程及它们的解；
(2)请你用一个含正整数$n$的式子表示上述规律,并求出它的解。
(1)第⑤个方程为$\frac{5}{x+1}=\frac{10}{x+1}-1$，解为$x=4$；第⑥个方程为$\frac{6}{x+1}=\frac{12}{x+1}-1$，解为$x=5$；
(2)第$n$个方程为$\frac{n}{x+1}=\frac{2n}{x+1}-1$，去分母，得$n=2n-(x+1)$，解得$x=n-1$，经检验，$x=n-1$是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为$x=n-1$。

答案： 解:
(1)第⑤个方程为5/(x+1)=10/(x+1)-1,解为x=4;第⑥个方程为6/(x+1)=12/(x+1)-1,解为x=5;
(2)第n个方程为n/(x+1)=2n/(x+1)-1,去分母,得n=2n-(x+1),解得x=n-1,经检验,x=n-1是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为x=n-1.