《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

8. 如图，点$D$，$E$分别在$\triangle ABC$的边$AC$和$BC$上，$AE$与$BD$相交于点$F$，给出下面四个条件：①$\angle 1 = \angle 2$；②$AD = BE$；③$AF = BF$；④$DF = EF$。从这四个条件中选取两个，不能判定$\triangle ABC$是等腰三角形的是（C）

A.①②
B.①④
C.②③
D.③④

答案： C

9. 如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的$CD$部分的长度与支杆$BC$相等，且$\angle BCE = 120^{\circ}$。若$CD$的长度为$55\mathrm{cm}$，则此时$B$，$D$两点之间的距离为55$\mathrm{cm}$。

答案： 55

10. 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫作“等腰分割”，这条线段称为这个三角形的“等腰分割线”。如图1，当$\triangle ABD$和$\triangle ACD$为等腰三角形时，$AD$为$\triangle ABC$的等腰分割线。
(1)如图2，$\triangle ABC$中，$\angle B = 2\angle C$，线段$AC$的垂直平分线$ED$交$AC$于点$D$，交$BC$于点$E$。求证：$AE$是$\triangle ABC$的一条等腰分割线；
(2)如图3，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 120^{\circ}$，$\angle B = 20^{\circ}$，$\angle C = 40^{\circ}$，请你用两种不同的方法完成$\triangle ABC$的等腰分割，并直接写出每种分割之后两个等腰三角形的顶角度数；
(3)在$\triangle ABC$中，$AD$为$\triangle ABC$的等腰分割线，且$AD = BD$，$\angle C = 30^{\circ}$，请直接写出$\angle B$的度数。

答案：
解:
(1)证明:
∵DE 是 AC 的垂直平分线,
∴AE=CE,
∴∠C=∠CAE,△ACE 是等腰三角形,
∴∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C,
∵∠B=2∠C,
∴∠B=∠AEB,
∴AB=AE,
∴△ABE 是等腰三角形,
∴AE 是△ABC 的一条等腰分割线;
(2)作图如图所示;


(3)∠B=60°或 15°或 37.5°.

如图1，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC$，$\angle ACB$的平分线交于点$O$，过点$O$作$BC$的平行线交$AB$，$AC$于点$D$，$E$。
(1)请写出图1中线段$BD$，$CE$，$DE$之间的数量关系？并说明理由；
(2)如图2，在$\triangle ABC$中，若$\angle ABC$的平分线与$\triangle ABC$的外角平分线交于点$O$，过点$O$作$BC$的平行线交$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$。那么$BD$，$CE$，$DE$之间存在什么数量关系？并说明理由；
(3)若将图1中两个内角的角平分线改为两个外角（如图3，$\angle DBC$，$\angle BCE$）的角平分线，其他条件不变，那么$BD$，$CE$，$DE$之间存在什么数量关系？请直接写出你的猜想（不需证明）。

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答案： 解:
(1)DE=BD+CE,理由如下:
∵∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O,
∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠BCO,
∵DE//BC,
∴∠DOB=∠OBC,∠EOC=∠BCO,
∴∠DOB=∠DBO,∠EOC=∠ECO,
∴BD=DO,OE=CE,
∴DO+OE=BD+CE,即 DE=BD+CE;
(2)DE=BD-CE,理由如下:
∵∠ABC 和∠ACF 的平分线相交于点 O,
∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠FCO.
∵DE//BC,
∴∠DOB=∠OBC,∠EOC=∠FCO,
∴∠DOB=∠DBO,∠EOC=∠ECO,
∴BD=DO,OE=CE,
∵DE=DO-OE,
∴DE=BD-CE;
(3)DE=BD+CE.
提示:
∵∠DBC,∠BCE 的平分线交于点 O,
∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠BCO,
∵DE//BC,
∴∠DOB=∠OBC,∠EOC=∠BCO,
∴∠DOB=∠DBO,∠EOC=∠ECO,
∴BD=DO,OE=CE,
∴DO+OE=BD+CE,即 DE=BD+CE.