《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

8. 以下是代数式$(\frac{3}{x - 1} - x - 1) ÷ \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1}$排乱的化简步骤:①$=\frac{(2 + x)(2 - x)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{(x - 2)^2}$;②$=\frac{2 + x}{2 - x}$;③$=[\frac{3}{x - 1} - \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}] \cdot \frac{x - 1}{(x - 2)^2}$;④$=\frac{4 - x^2}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{(x - 2)^2}$.则正确的化简步骤顺序是 (C)
A.①→③→④→②
B.③→①→④→②
C.③→④→①→②
D.①→④→③→②

答案： C

9. 易错题 下面是嘉琪进行分式计算的过程,下列判断不正确的是 (D)
$\frac{2x}{x^2 - 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{2x}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{1}{x + 1}$……第一步
$=\frac{2x}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)}$……第二步
$=2x - (x - 1)$……第三步
$=x + 1$.……第四步
A.第二步运用了分式的基本性质
B.从第三步开始出现错误
C.原分式的计算结果为$\frac{1}{x - 1}$
D.当$x = 1$时,原分式的值为$0$

答案： D

10. 化简:(1)$(\frac{3a}{a^2 - 1} - \frac{1}{a - 1}) ÷ \frac{2a - 1}{a + 1}$;
(2)$(\frac{4m + 5}{m + 1} + m - 1) ÷ \frac{m + 2}{m + 1}$.

答案： 解:
(1)原式=$[\frac{3a}{(a-1)(a+1)}-\frac{a+1}{(a-1)(a+1)}]\cdot \frac{a+1}{2a-1}=\frac{3a-(a+1)}{(a+1)(a-1)}\cdot \frac{a+1}{2a-1}=\frac{1}{a-1}$;
(2)原式=$[\frac{4m+5}{m+1}+\frac{(m-1)(m+1)}{m+1}]× \frac{m+1}{m+2}=\frac{m^{2}+4m+4}{m+1}× \frac{m+1}{m+2}=\frac{(m+2)^{2}}{m+1}× \frac{m+1}{m+2}=m+2$.

11. 先化简:$\frac{x}{x + 3} ÷ \frac{x^2 + x}{x^2 + 6x + 9} + \frac{3x - 3}{x^2 - 1}$,再求当$x + 1与x + 6$互为相反數时代数式的值.

答案： 解:原式=$\frac{x}{x+3}\cdot \frac{(x+3)^{2}}{x(x+1)}+\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+3}{x+1}+\frac{3}{x+1}=\frac{x+6}{x+1}$.
∵$x+1$与$x+6$互为相反数,
∴$x+1=-(x+6)$,
∴原式=$-1$.

12. 一题多解 化简$(\frac{x}{x + 1} + \frac{x}{x - 1}) \cdot \frac{x^2 - 1}{x}$.下表是甲、乙两位同学的部分运算过程:

(1)甲同学解法的依据是②,乙同学解法的依据是③;(填序号)
①等式的基本性质;②分式的基本性质;③乘法分配律;④乘法交换律.
(2)选择其中一位同学的解法,写出完整的解答过程.
解:若选择甲同学的解法:$(\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x-1})\cdot \frac{x^{2}-1}{x}=[\frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}]\cdot \frac{x^{2}-1}{x}=\frac{x^{2}-x+x^{2}+x}{(x+1)(x-1)}\cdot \frac{(x+1)(x-1)}{x}=\frac{2x^{2}}{(x+1)(x-1)}\cdot \frac{(x+1)(x-1)}{x}=2x$;若选择乙同学的解法:$(\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x-1})\cdot \frac{x^{2}-1}{x}=\frac{x}{x+1}\cdot \frac{x^{2}-1}{x}+\frac{x}{x-1}\cdot \frac{x^{2}-1}{x}=\frac{x}{x+1}\cdot \frac{(x+1)(x-1)}{x}+\frac{x}{x-1}\cdot \frac{(x+1)(x-1)}{x}=x-1+x+1=2x$.

答案： 解:
(1)② ③
(2)若选择甲同学的解法:$(\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x-1})\cdot \frac{x^{2}-1}{x}=[\frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}]\cdot \frac{x^{2}-1}{x}=\frac{x^{2}-x+x^{2}+x}{(x+1)(x-1)}\cdot \frac{(x+1)(x-1)}{x}=\frac{2x^{2}}{(x+1)(x-1)}\cdot \frac{(x+1)(x-1)}{x}=2x$;若选择乙同学的解法:$(\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x-1})\cdot \frac{x^{2}-1}{x}=\frac{x}{x+1}\cdot \frac{x^{2}-1}{x}+\frac{x}{x-1}\cdot \frac{x^{2}-1}{x}=\frac{x}{x+1}\cdot \frac{(x+1)(x-1)}{x}+\frac{x}{x-1}\cdot \frac{(x+1)(x-1)}{x}=x-1+x+1=2x$.

13. 新定义型阅读理解题 运算能力 定义:若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,则称这个分式为“和谐分式”.如:$\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$,则$\frac{x + 1}{x - 1}$是“和谐分式”.
(1)下列式子中,属于“和谐分式”的是______;(填序号)
①$\frac{x + 1}{x}$;②$\frac{2 + x}{2}$;③$\frac{x + 2}{x + 1}$;④$\frac{y^2 + 1}{y^2}$.
(2)将“和谐分式”$\frac{a^2 - 2a + 3}{a - 1}$化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式;
(3)先化简$\frac{3x + 6}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} ÷ \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x}$,结果是“和谐分式”吗?并求$x$取什么整数时,该式的值为整数.
(1)①③④
(2)原式=$\frac{(a-1)^{2}+2}{a-1}=\frac{(a-1)^{2}}{a-1}+\frac{2}{a-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$
(3)原式=$\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}\cdot \frac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x+2}{x+1}=\frac{2x+4}{x+1}=\frac{2(x+1)+2}{x+1}=2+\frac{2}{x+1}$,是“和谐分式”.当$x+1=\pm 1$或$x+1=\pm 2$时,分式的值为整数,此时$x=0$或$-2$或1或$-3$,又∵分式有意义时,$x≠0$且$x≠1$且$x≠-1$且$x≠-2$,∴$x=-3$.

答案： 解:
(1)①③④
(2)原式=$\frac{(a-1)^{2}+2}{a-1}=\frac{(a-1)^{2}}{a-1}+\frac{2}{a-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$;
(3)原式=$\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}\cdot \frac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x+2}{x+1}=\frac{2x+4}{x+1}=\frac{2(x+1)+2}{x+1}=2+\frac{2}{x+1}$,是“和谐分式”.当$x+1=\pm 1$或$x+1=\pm 2$时,分式的值为整数,此时$x=0$或$-2$或1或$-3$,又
∵分式有意义时,$x≠0$且$x≠1$且$x≠-1$且$x≠-2$,
∴$x=-3$.