《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

1. 若化简$(\frac {1}{x - 4} + \frac {1}{x + 4})÷\frac {△}{x^{2} - 16}$的最终结果为整数,则“△”代表的式子可以是(A)
A.$2x$
B.$x - 2$
C.$x + 4$
D.$4$

答案： A

2. 易错题 对于代数式$M:(1 + \frac {m}{a - 1})÷\frac {2a}{a^{2} - 1}$($m$为整式).
(1)当$m = a + 1$时,化简$M$的结果为$a+1$；
(2)若化简$M的结果为\frac {a + 1}{2}$,则$m = $1.

答案：
(1)$a+1$
(2)1

3. 计算：
(1)$\frac {1}{x + 3} + \frac {6}{x^{2} - 9}$；
(2)$(\frac {2x}{x + 1} - 1)÷\frac {x^{2} - x}{x^{2} + 2x + 1}$.

答案： 解:
(1)原式$=\frac {x-3}{(x+3)(x-3)}+\frac {6}{(x+3)(x-3)}=\frac {x-3+6}{(x+3)(x-3)}=\frac {x+3}{(x+3)(x-3)}=\frac {1}{x-3};$
(2)原式$=\frac {2x-x-1}{x+1}\cdot \frac {(x+1)^{2}}{x(x-1)}=\frac {x-1}{x+1}\cdot \frac {(x+1)^{2}}{x(x-1)}=\frac {x+1}{x}.$

4. 整体思想 已知$x^{2} - x - 1 = 0$,计算$(\frac {2}{x + 1} - \frac {1}{x})÷\frac {x^{2} - x}{x^{2} + 2x + 1}$的值是(A)
A.$1$
B.$-1$
C.$2$
D.$-2$

答案： A

5. 分类讨论思想 设$A = (m - \frac {9}{m})÷\frac {m - 3}{m}$,若$x^{2} + mx + 16$是一个完全平方式,试求$A$的值.

答案： 解:$A=\frac {m^{2}-9}{m}\cdot \frac {m}{m-3}=\frac {(m+3)(m-3)}{m}\cdot \frac {m}{m-3}=m+3,\because x^{2}+mx+16$是一个完全平方式，$\therefore x^{2}+mx+16=(x\pm 4)^{2},\because (x\pm 4)^{2}=x^{2}\pm 8x+16,\therefore m=\pm 8$,当$m=8$时,$A=m+3=8+3=11$;当$m=-8$时,$A=m+3=-8+3=-5.$

6. 先化简$\frac {x^{2} - 4}{x^{2} - 9}÷(1 - \frac {1}{x - 3})$,再从不等式$2x - 3 ＜ 7的正整数解中选一个使原式有意义的数作为x$的值代入求值.

答案： 解:原式$=\frac {(x+2)(x-2)}{(x+3)(x-3)}÷\frac {x-3-1}{x-3}=\frac {(x+2)(x-2)}{(x+3)(x-3)}\cdot \frac {x-3}{x-4}=\frac {(x+2)(x-2)}{(x+3)(x-4)}$,解不等式$2x-3＜7$,得$x＜5$,故其正整数解为1,2,3,4,由于$x+3≠0$且$x-3≠0$且$x-4≠0$,即$x≠-3$且$x≠3$且$x≠4$,故$x=1$或2.当$x=1$时,原式$=\frac {1}{4}$;当$x=2$时,原式=0.

7. 先化简,再求值：$(x - \frac {3x}{x + 1})÷\frac {x - 2}{x^{2} + 2x + 1}$,其中$x满足x^{2} + x - 2 = 0$.

答案： 解:原式$=\frac {x(x+1)-3x}{x+1}\cdot \frac {(x+1)^{2}}{x-2}=\frac {x(x-2)}{x+1}\cdot \frac {(x+1)^{2}}{x-2}=x(x+1)=x^{2}+x.$$\because x^{2}+x-2=0,\therefore x^{2}+x=2$,
∴原式=2.

8. 如图,嘉嘉同学作业本上的一道题被墨水污染了,但他知道化简结果为$\frac {1}{x + 3}$.
(1)求被墨水污染的部分；
(2)从$-4$,$-3$,$3$,$4中取一个合适的数作为x$的值,并代入化简结果求值.
化简：$\frac {x + 4}{x^{2} - 9}÷\frac {x^{2} + 8x + 16}{}$的结果为$\frac{1}{x+3}$.

答案： 解:
(1)$\because \frac {x+4}{x^{2}-9}÷\frac {1}{x+3}=\frac {x+4}{(x+3)(x-3)}\cdot (x+3)=\frac {x+4}{x-3},(x^{2}+8x+16)÷\frac {x+4}{x-3}=(x+4)^{2}\cdot \frac {x-3}{x+4}=(x+4)(x-3)=x^{2}-3x+4x-12=x^{2}+x-12$,
∴被墨水污染的部分是$x^{2}+x-12$;
(2)
∵分式中的分母含有$x+3,x-3$和$x+4,\therefore x≠\pm 3$和-4,
∴x只能为4,当$x=4$时,原式$=\frac {1}{x+3}=\frac {1}{4+3}=\frac {1}{7}.$