《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

11. 约分和因式分解的综合运用 如果一个分式的分子或分母可以因式分解,且不可约分,那么我们称这个分式为“真分式”。下列分式中,“真分式”的是(C)
A.$\frac{x^{2}-y^{2}}{x - y}$
B.$\frac{x + y}{x^{2}-xy + y^{2}}$
C.$\frac{4x + 2y}{x^{2}-4y^{2}}$
D.$\frac{x^{2}-2xy + y^{2}}{2x - 2y}$

答案： C

12. 分式$\frac{4mn^{2}}{20m^{2}n}$中分子、分母的公因式为4mn。

答案： 4mn

13. 若分式$\frac{1}{2 - |x|}$的值为整数,则整数$x$的值为1,3,-1,-3。

答案： 1,3,-1,-3

14. 将下列各式约分：
(1) $-\frac{3a^{3}b}{45a^{2}b^{3}}$；
(2) $\frac{a^{4}-16}{2a^{2}b + 8b}$。

答案： 解:
(1)$-\frac{3a^{3}b}{45a^{2}b^{3}}=-\frac{a}{15b^{2}}$;
(2)$\frac{a^{4}-16}{2a^{2}b + 8b}=\frac{(a^{2}-4)(a^{2}+4)}{2b(a^{2}+4)}=\frac{a^{2}-4}{2b}$.

15. 先约分,再求值：$\frac{a^{3}-4ab^{2}}{a^{3}-4a^{2}b + 4ab^{2}}$,其中$a = -2$,$b = \frac{1}{2}$。

答案： 解:原式=$\frac{a(a^{2}-4b^{2})}{a(a^{2}-4ab+4b^{2})}=\frac{a(a+2b)(a-2b)}{a(a-2b)^{2}}=\frac{a+2b}{a-2b}$,
当$a=-2,b=\frac{1}{2}$时,
原式=$\frac{a+2b}{a-2b}=\frac{-2+2×\frac{1}{2}}{-2-2×\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$.

16. 解题方法型阅读理解题 阅读下面的解题过程。
已知：$\frac{x}{x^{2}+1} = \frac{1}{3}$,求$\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$的值。
解：由$\frac{x}{x^{2}+1} = \frac{1}{3}知x \neq 0$,$\therefore \frac{x^{2}+1}{x} = 3$,即$x + \frac{1}{x} = 3$。
$\therefore \frac{x^{4}+1}{x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2}-2 = 3^{2}-2 = 7$。故$\frac{x^{2}}{x^{4}+1}的值为\frac{1}{7}$。
该题的解法叫作“倒数法”,请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知$\frac{a}{a^{2}-5a + 1} = \frac{1}{4}$,求$\frac{a^{2}}{a^{4}+3a^{2}+1}$的值。

答案： 解:由题知$a≠0$,$\because\frac{a}{a^{2}-5a+1}=\frac{1}{4}$,
$\therefore\frac{a^{2}-5a+1}{a}=4$,$\therefore a-5+\frac{1}{a}=4$,
$\therefore a+\frac{1}{a}=9$,$\therefore(a+\frac{1}{a})^{2}=81$,
即$a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}=81$,
$\therefore a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=79$.
$\therefore\frac{a^{4}+3a^{2}+1}{a^{2}}=a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+3=79+3=82$,
$\therefore\frac{a^{2}}{a^{4}+3a^{2}+1}=\frac{1}{82}$.

17. 新定义型阅读理解题 运算能力 我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式,则称这个分式为“巧分式”,约分后的整式称为这个分式的“巧整式”。例如：
$\frac{4x^{2}-8x}{x - 2} = \frac{4x(x - 2)}{x - 2} = 4x$,则称分式$\frac{4x^{2}-8x}{x - 2}$是“巧分式”,$4x$为它的“巧整式”。根据上述定义,解决下列问题。
(1)①③下列分式中是“巧分式”的有______；(填序号)
① $\frac{(x - 1)(2x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)}$；② $\frac{2x + 5}{x + 3}$；③ $\frac{x^{2}-y^{2}}{x + y}$。
(2)若分式$\frac{x^{2}-4x + m}{x + 3}$($m$为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x - 7$,求$m$的值；
(3)若分式$\frac{-2x^{3}+2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$。
①求整式$A$；
② $\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}$是“巧分式”吗？

答案： 解:
(1)①③
(2)$\because$分式$\frac{x^{2}-4x+m}{x+3}$($m$为常数)是一个"巧分式",它的"巧整式"为$x - 7$,$\therefore(x+3)(x-7)=x^{2}-4x+m$,
$\therefore x^{2}-4x-21=x^{2}-4x+m$,$\therefore m=-21$;
(3)①$\because$分式$\frac{-2x^{3}+2x}{A}$的"巧整式"为$1 - x$,$\therefore A=\frac{-2x^{3}+2x}{1-x}$.
$\therefore A=\frac{2x(1-x^{2})}{1-x}=\frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)$,即$A=2x^{2}+2x$;
②$\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}=\frac{2x(x^{2}+2x+1)}{2x^{2}+2x}=\frac{2x(x+1)^{2}}{2x(x+1)}=x+1$,又$x+1$是整式,
$\therefore\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}$是"巧分式".