《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

10. 如图,$P为\angle AOB$内一点,$OA= OB$,且$\triangle OPA与\triangle OPB$面积相等.求证：$\angle AOP= \angle BOP$.

答案： 证明:如图,过点P分别作PM⊥OA交OA延长线于点M,PN⊥OB交OB延长线于点N.
∵$S_{\triangle OPA}=S_{\triangle OPB}$,
∴$\frac{1}{2}OA\cdot PM=\frac{1}{2}OB\cdot PN$,
∵OA=OB,
∴PM=PN,
∴OP为∠AOB的平分线,
∴∠AOP=∠BOP.

11. 如图,在直角三角形$ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 6$,$BC= 8$,$AB= 10$.如果$D$,$E分别为BC$,$AB$上的动点,那么$AD+DE$的最小值是(B)

A.$8.4$
B.$9.6$
C.$10$
D.$10.8$

答案： B

12. 现有如图1所示两种花纹的正方形地砖各若干块,安装在图2中两块正方形地面上,要求拼成两种不同的图案,且拼出的每种图案都满足下列条件：
①同时含有图1中的两种花纹；
②是中心对称图形.

答案： 本题可根据中心对称图形的定义，结合题目条件进行图案设计。
中心对称图形是图形绕某一点旋转$180^{\circ}$后与原来的图形重合。
以下是两种满足条件的图案设计：
图案一：
将图$1$中第一种花纹（三角形阴影）的地砖放在左上角和右下角，第二种花纹（小正方形阴影）的地砖放在右上角和左下角。此时绕正方形地面的中心旋转$180^{\circ}$后，图形与原来的图形重合，满足中心对称图形的条件，且同时含有两种花纹。
图案二：
把图$1$中第一种花纹（三角形阴影）的地砖放在右上角和左下角，第二种花纹（小正方形阴影）的地砖放在左上角和右下角。同样，绕正方形地面的中心旋转$180^{\circ}$后，图形与原来的图形重合，也满足中心对称图形的条件，并且同时含有两种花纹。
综上，答案为（图案一）：将第一种花纹地砖放左上角和右下角，第二种花纹地砖放右上角和左下角；（图案二）：将第一种花纹地砖放右上角和左下角，第二种花纹地砖放左上角和右下角（答案不唯一，只要满足条件即可）。

13. 如图,$AB\perp BC$,$AB= BC= 2\mathrm{cm}$,曲线$OA与曲线OC关于点O$成中心对称,则$AB$,$BC$,曲线$OC$,曲线$OA$所围成图形的面积是2$\mathrm{cm}^{2}$.

答案： 2

14. 已知角平分线判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

(1)小明认为“$PC\perp OA$,$PD\perp OB$”这两个条件可以替换为“$OC= OD$”,结论仍成立.即若$C$,$D两点分别在\angle AOB的两边OA$,$OB$上,$OC= OD$,点$P在\angle AOB$的内部,$PC= PD$,则点$P在\angle AOB$的平分线上,请你给出证明；

(2)小红认为“$PC\perp OA$,$PD\perp OB$”这两个条件可以直接去掉,结论也成立.即若点$P在\angle AOB$的内部,$PC= PD$,则点$P在\angle AOB$的平分线上.小红的想法对吗？若对请给出证明,若错请用直尺和圆规作出反例(尺规作图写出必要的文字说明或作图步骤)；
(3)尺规作图：用两种方法作$\angle AOB$的平分线(写出必要的文字说明或作图步骤).
|符号语言：如图,∵$PC= PD$,$PC\perp OA$,$PD\perp OB$,∴点$P在\angle AOB$的平分线上.|$\begin{array}{l}\text { 符号语言: 如图, } \because P C= P D, \\ P C \perp O A, P D \perp O B, \\ \therefore \text { 点 } P \text { 在 } \angle A O B \text { 的 } \\ \text { 平分线上. }\end{array} $|

答案： 解:
(1)证明:如图1,
∵PO=PO,
OC=OD,PC=PD,
∴△POC≌△POD(SSS),
∴∠POA=∠POB,
∴点P在∠AOB的平分线上;
(2)小红的想法错误.如图2,OP平分∠AOB,在射线OP外取一点P',以P'为圆心,适当的长为半径作⊙P'交OA于点C,交OB于点D,满足P'C=P'D,但点P'不在∠AOB的平分线上;
(3)作图方法不唯一.如图3,在OA,OB上截取OC=OD,分别以C,D为圆心,适当的长为半径作弧两弧交于点P,作射线OP即可;如图4,分别在OA,OB上截取OC=OD,OE=OF,连接DE,CF交于点P,作射线OP即可.