《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

1. 如图,一张纸上有 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 四个点,请找出一点 $ M $,使得 $ MA = MB $,$ MC = MD $(保留作图痕迹,不写作法)。

答案：
解:如图，点M即为所求;
　　　

2. 画图操作 如图,已知 $ \triangle ABC $,$ P $ 为边 $ AB $ 上一点,请用尺规作图的方法在边 $ AC $ 上求作一点 $ E $,使得 $ \triangle APE $ 的周长等于 $ AP + AC $。(保留作图痕迹,不写作法)

答案：
解:如图,点E为所作
　　　　

3. 如图,线段 $ AC $,$ AB $ 的中垂线交于点 $ O $,已知 $ OC = 2 cm $,则 $ OB $ 等于(B)

A.$ 1 cm $
B.$ 2 cm $
C.$ 4 cm $
D.不能确定

答案： B

4. 易错题 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AC $ 的垂直平分线分别交 $ AC $,$ BC $ 于 $ E $,$ D $ 两点,$ EC = 3 $,$ \triangle ABD $ 的周长为 $ 9 $,则 $ \triangle ABC $ 的周长为(C)

A.$ 6 $
B.$ 12 $
C.$ 15 $
D.$ 18 $

答案： C

5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ABP = \angle CBP $,$ PE $ 垂直平分 $ BC $,连接 $ CP $,若 $ \angle A = 75^{\circ} $,$ \angle ACP = 12^{\circ} $,则 $ \angle ABP $ 的度数为(B)

A.$ 12^{\circ} $
B.$ 31^{\circ} $
C.$ 53^{\circ} $
D.$ 75^{\circ} $

答案： B

6. 较难题 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ DE $ 垂直平分 $ AC $ 于点 $ E $,交 $ BC $ 于点 $ D $,连接 $ AD $,$ AB $ 的垂直平分线交 $ AD $ 于点 $ F $,连接 $ BF $,设 $ \angle C = \alpha $,$ \angle DBF = \beta $,求 $ \angle BAC $ 的度数。(用含 $ \alpha $,$ \beta $ 的代数式表示)

答案： 解:
∵DE垂直平分AC于点E,
∴DA=DC,
∴易得∠DAC=∠C=α,
∵AB的垂直平分线交AD于点F,
∴FA=FB,
∴易得∠FAB=∠FBA,
∵∠ABC+∠C+∠BAC=180°,即∠FBA+∠DBF+∠C+∠FAB+∠DAC=180°,
∴∠FAB+β+α+∠FAB+α=180°,
∴∠FAB+α=90°−$\frac{1}{2}$β,
即∠BAC=90°−$\frac{1}{2}$β.

7. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB $ 的垂直平分线 $ EF $ 交 $ BC $ 于点 $ E $,交 $ AB $ 于点 $ F $,$ D $ 为 $ CE $ 的中点,连接 $ AD $,此时 $ \angle CAD = 24^{\circ} $,$ \angle ACB = 66^{\circ} $。
求证：$ BE = AC $。

答案：
证明:如图，连接AE,
∵∠ACB=66°,∠DAC=24°,
∴∠ADC=180°−∠DAC−∠ACB=180°−24°−66°=90°,
∴AD⊥EC,
∵D为CE的中点,
∴DE=DC,
∴AD是线段CE的垂直平分线,
∴AE=AC,
∵EF垂直平分AB,
∴AE=BE,
∴BE=AC.