《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

8. 已知$x^2 - 3x - 6 = 0$,则代数式$\left(x - \frac{9}{x}\right) ÷ \frac{2x + 6}{x^2}$的值为3。

答案： 3

9. 已知$2x - 3y + z = 0$,$3x - 2y - 6z = 0$,且$x$,$y$,$z均不为0$,则$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{xy + yz + xz}$的值为$\frac{26}{19}$。

答案： $\frac{26}{19}$

10. 阅读下面材料,解答后面的问题。
解方程：$\frac{x - 1}{x} - \frac{4x}{x - 1} = 0$。
解：设$y = \frac{x - 1}{x}$,则原方程化为$y - \frac{4}{y} = 0$,方程两边同时乘$y$,得$y^2 - 4 = 0$,
解得$y = \pm 2$。经检验：$y = \pm 2都是方程y - \frac{4}{y} = 0$的解。当$y = 2$时,$\frac{x - 1}{x} = 2$,解得$x = -1$；当$y = -2$时,$\frac{x - 1}{x} = -2$,解得$x = \frac{1}{3}$。
检验：$x = -1和x = \frac{1}{3}$都是原分式方程的解,
所以原分式方程的解为$x = -1或x = \frac{1}{3}$。
上述这种解分式方程的方法称为换元法。
用换元法解：$\frac{x + 1}{2x - 1} - \frac{2x - 1}{x + 1} = 0$。

答案： 解:设$y=\frac{x+1}{2x-1}$,则原方程化为$y-\frac{1}{y}=0$.方程两边同时乘y,得$y^2-1=0$,解得$y=\pm1$.
经检验:$y=\pm1$都是$y-\frac{1}{y}=0$的解.当$y=1$时,$\frac{x+1}{2x-1}=1$,解得$x=2$.
当$y=-1$时,$\frac{x+1}{2x-1}=-1$,解得$x=0$.
经检验:$x=2$和$x=0$都是原分式方程的解.
所以原分式方程的解为$x=2$或$x=0$.

11. 根据以下素材,探索完成任务。

答案： 解:任务1:设笔记本的单价为x元,则钢笔的单价为2x元,
根据题意,得$\frac{120}{x}=\frac{160}{2x}+8$,解得$x=5$,
经检验,$x=5$是原方程的解,且符合实际意义,
此时$2x=10$,
答:笔记本的单价为 5 元,钢笔的单价为 10 元;
任务2:设购买钢笔的数量为m支,笔记本数量为n本,
根据题意,得
$\begin{cases}m+n=50,\\10m+5n=400,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=30,\\n=20,\end{cases}$
答:购买钢笔的数量为 30 支,笔记本数量为 20 本;
任务3:当购买钢笔的数量为 30 支,笔记本数量为 20 本时,设有a张兑换券兑换钢笔,则有$(m-a)$张兑换券兑换笔记本,根据题意,得$30+10a=20+20×(m-a)$,整理得$m=\frac{3a+1}{2}$,
∵$1＜m＜10$,
∴$1＜\frac{3a+1}{2}＜10$,
∴$\frac{1}{3}＜a＜\frac{19}{3}$,
∵m,a均为正整数,
∴$3a+1$为偶数(2 的倍数),
∴a可取1,3,5,当$a=1$时,$m=2$,则$10+30=20+20×(2-1)$,成立;当$a=3$时,$m=5$,则$30+10×3=20+20×(5-3)$,成立;当$a=5$时,$m=8$,则$30+10×5=20+20×(8-5)$,成立;根据题意可知,当$a=3$或5时,赠送的总价为 500 元或 800 元,不合理,
∴文具店赠送 2 张兑换券,其中有 1 张兑换券兑换钢笔,有 1 张兑换券兑换笔记本,
答:文具店赠送 2 张兑换券,其中有 1 张兑换券兑换钢笔,有 1 张兑换券兑换笔记本.