《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

10. 应用意识如图,公路 $ BC $ 所在的直线恰为 $ AD $ 的垂直平分线,则下列说法中:①小明从家到书店与小颖从家到书店一样远;②小明从家到书店与他从家到学校一样远;③小颖从家到书店与她从家到学校一样远;④小明从家到学校与小颖从家到学校一样远. 正确的是 ②③ .(填写序号)

答案： ②③

11. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle DAB = 130^{\circ} $,$ \angle D = \angle B = 90^{\circ} $,$ M $,$ N $ 分别是 $ CD $,$ BC $ 上两个动点,当 $ \triangle AMN $ 的周长最小时,$ \angle AMN + \angle ANM $ 的度数为 100$ ^{\circ} $.

答案： 100

12. (7 分)如图,已知四边形 $ ABCD $ 和直线 $ l $,在图中作四边形 $ A'B'C'D' $,使四边形 $ A'B'C'D' $ 和四边形 $ ABCD $ 关于直线 $ l $ 对称.

答案：
解:如图,四边形A'B'C'D'即为所求.

13. (8 分)如图,已知锐角三角形 $ ABC $,$ \angle B = 48^{\circ} $,请用尺规在 $ \triangle ABC $ 内部作一点 $ P $,使 $ PB = PC $.且 $ \angle PBC = 24^{\circ} $.(保留作图痕迹,不写作法)

答案：
解:如图,点P即为所求.

14. (12 分)如图,$ \angle B = \angle C = 90^{\circ} $,$ M $ 是 $ BC $ 的中点,$ DM $ 平分 $ \angle ADC $.求证:$ AM $ 平分 $ \angle DAB $.

答案： 证明:在题图上过点M作ME⊥AD,垂足为E.
∵MC⊥DC，ME⊥DA，DM平分∠ADC，
∴ME=MC.
∵M为BC的中点，
∴MB=MC.
∴ME=MB.
∵MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB.

15. (14 分)如图,在$ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $,$ FE \perp AD $ 于点 $ E $,交 $ BC $ 的延长线于点 $ F $,连接 $ AF $,恰有 $ \angle FAC = \angle B $.求证:$ EF $ 是 $ AD $ 的垂直平分线.

答案： 证明:
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD.
∵∠FAC=∠B，∠EAF=∠CAD+∠FAC，∠EDF=∠BAD+∠B，
∴∠EDF=∠EAF.
∵FE⊥AD，
∴∠AEF=∠DEF=90°.在△FAE和△FDE中，∠EAF=∠EDF，∠AEF=∠DEF，EF=EF，
∴△FAE≌△FDE(AAS).
∴AE=DE.
∴EF是AD的垂直平分线.

16. (15 分)较难题如图,$ P $ 是 $ \triangle ABC $ 内一点,$ PG $ 是 $ BC $ 的垂直平分线,且 $ \angle PBC = \angle PCB = \frac{1}{2} \angle A $,$ BP $,$ CP $ 的延长线分别交 $ AC $,$ AB $ 于点 $ D $,$ E $.求证:$ BE = CD $.

答案：
证明:如图,作BF⊥CE,交CE的延长线于点F,作CM⊥BD于点M,则∠PFB=∠PMC=90°.
∵PG是BC的垂直平分线，
∴PB=PC.在△PBF和△PCM中，∠PFB=∠PMC，∠BPF=∠CPM，PB=PC，
∴△PBF≌△PCM(AAS).
∴BF=CM.
∵∠BPE=∠PBC+∠PCB，
∴∠PBC=∠PCB=$\frac{1}{2}$∠BPE.又
∵∠PBC=∠PCB=$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠A=∠BPE.
∴∠EPD+∠A=∠EPD+∠BPE=180°.
∴∠AEP+∠ADP=360°-(∠EPD+∠A)=180°.又
∵∠ADP+∠CDM=180°，
∴∠AEP=∠CDM.
∵∠AEP=∠BEF，
∴∠BEF=∠CDM.在△BEF和△CDM中，∠BEF=∠CDM，∠BFE=∠CMD=90°，BF=CM，
∴△BEF≌△CDM(AAS).
∴BE=CD.