《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

8. 较难题 如图,AD//BC,∠ABC 的平分线 BP 与∠BAD 的平分线 AP 相交于点 P,过点 P 作 EF⊥BC,分别交 AD,BC 于点 E,F. 若 EF= 4,则点 P 到 AB 的距离为(D)

A.4
B.3
C.2.5
D.2

答案： D

9. 易错题 如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F,若△ABC 的面积是$ 34 cm^2,AB= 10 cm,AC= 7 cm,$则 DF 的长为4cm.

答案： 4

10. 如图,△ABC 中,点 D 在边 BC 的延长线上,∠ACB= 100°,∠ABC 的平分线交 AD 于点 E,过点 E 作 EH⊥BD,垂足为 H,且∠CEH= 50°.
(1) 求∠ACE 的度数；
(2) 求证：AE 平分∠CAF；
(3) 若 AC+CD= 14,AB= 10,且 $ S_{△ACD} $ = 21,求△ABE 的面积.

答案：
解:
(1)
∵∠ACB=100°,
∴∠ACD=180°−100°=80°,
∵EH⊥BD,
∴∠CHE=90°,
∵∠CEH=50°,
∴∠ECH=180°−90°−50°=40°,
∴∠ACE=∠ACD−∠ECH=80°−40°=40°;
(2)证明:如图，过点E分别作EM⊥BF于点M,EN⊥AC于点N,
∵BE平分∠ABC,EH⊥BD,
∴EM=EH,
∵∠ACE=∠ECH=40°,
∴CE平分∠ACD,
∴EN=EH,
∴EM=EN,
∴AE平分∠CAF;

(3)
∵AC+CD=14,S△ACD=21,EM=EN=EH,
∴S△ACD=S△ACE+S△CED=$\frac{1}{2}$AC·EN+$\frac{1}{2}$CD·EH=$\frac{1}{2}$(AC+CD)·EM=21,即$\frac{1}{2}$×14·EM=21,解得EM=3,
∵AB=10,
∴S△ABE=$\frac{1}{2}$AB·EM=15.

11. 画图操作应用意识 一个快递公司打算在两交叉公路间建一个中转站,既要便于 OM,ON 两条公路上的物流车快件卸后存放,又要方便 A,B 两处居民区的居民取件. 请依据你现有的知识设计出一个相对合理的地点(尺规作图,保留痕迹),并说明你的设计理由.

答案：
解:如图,P即为中转站的地点.理由:交点P到两条公路距离相等,到两个居民区距离也相等.

串题精练 与角平分线有关的面积问题
阅读材料：如图 1,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,则 $ S_{△ABD} : S_{△ACD} = AB : AC $；当点 $ D_1 $ 在角平分线 AD 上的任何位置(不与点 A 重合)时,都有 $ S_{△ABD_1} : S_{△ACD_1} = AB : AC $.

据此解答下列问题.
(1) 如图 2,△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,DE⊥AB 交 AB 于点 E,DF⊥AC 交 AC 于点 F. 若△ABC 面积为$ 30 cm^2,AB= 8 cm,AC= 7 cm,$则 DE 的长为( )
A.4 cm
B.3 cm
C.2 cm
D.5 cm
(2) △ABC 的三边 AB,BC,CA 的长分别是 20,30,40,其三条角平分线相交于点 O,将△ABC 分为三个三角形,则 $ S_{△ABO} : S_{△BCO} : S_{△CAO} $ 等于______；
(3) 如图 3,在△ABC 中, $ S_{△ABC} $ = 24,BD : CD = 2 : 1,AC= BD,∠ACB 的平分线 CE 交 AB 于 E,求△ADE 的面积.

答案：
A
@@2:3:4
@@解:如图,过点E分别作EM⊥BC,EN⊥AC.△BED,△EDC,△AEC的面积分别记S1,S2,S3,设EN=h,
∵∠ACB的平分线CE交AB于E,
∴EM=EN=h,
∵S△ABC=24,BD:CD=2:1,AC=BD,
∴S1/S2=(BD×h/2)/(DC×h/2)=BD/DC=2/1,S3=1/2AC×h,S△ADC=8,
∴S3=S1=2S2,
∵S3+S2+S1=24,
∴S2=24/5,
∴S3=S1=48/5,
∴S△ADE=24-S1-S△ADC=24-48/5-8=6.4.