《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

12. 易错题 已知$\sqrt{x^{3}+3x^{2}}= -x\sqrt{x + 3}$,则(D)
A.$x\leq0$
B.$x\leq-3$
C.$x\geq-3$
D.$-3\leq x\leq0$

答案： D

13. 当$a\geq0$,$b ＜ 0$时,化简$\sqrt{27a^{3}b^{2}}= $-3ab$\sqrt{3a}$。

答案： -3ab$\sqrt{3a}$

14. 化简二次根式$a\sqrt{-\frac{a + 1}{a^{2}}}$的结果是-$\sqrt{-a-1}$。

答案： -$\sqrt{-a-1}$

15. 二次根式$\sqrt{9x}$,$\sqrt{x^{2}-3}$,$\sqrt{\frac{x - y}{x}}$,$\sqrt{3a^{2}b}$中,是最简二次根式的是$\sqrt{x^{2}-3}$。

答案： $\sqrt{x^{2}-3}$

16. 推理能力 观察分析下列数据：$0$,$-\sqrt{3}$,$\sqrt{6}$,$-3$,$2\sqrt{3}$,$-\sqrt{15}$,$3\sqrt{2}……$根据数据排列规律得到的第10个数据应是-3$\sqrt{3}$。(结果化为最简二次根式)

答案： -3$\sqrt{3}$

17. 化简：
(1)$\sqrt{(-144)×(-169)}$；
(2)$-\frac{1}{3}\sqrt{225}$；
(3)$-\frac{1}{2}\sqrt{1024×5}$；
(4)$\sqrt{18m^{2}n}(m＞0)$。

答案： 解:
(1)原式$=\sqrt{144 × 169}=\sqrt{144} × \sqrt{169}=12 × 13=156$;
(2)原式$=-\frac{1}{3} × 15=-5$;
(3)原式$=-\frac{1}{2}\sqrt{32^{2} × 5}=-\frac{1}{2} × 32\sqrt{5}=-16\sqrt{5}$;
(4)原式$=\sqrt{3^{2} × m^{2} × 2n}=\sqrt{3^{2}} × \sqrt{m^{2}} × \sqrt{2n}=3m\sqrt{2n}$.

18. 数学文化 古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：若一个三角形的三边长分别为$a$,$b$,$c$,设$p= \frac{a + b + c}{2}$,则三角形的面积$S= \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$。我国南宋著名的数学家秦九韶,曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”(三斜求积术)：如果一个三角形的三边长分别为$a$,$b$,$c$,则三角形的面积$S= \sqrt{\frac{1}{4}[a^{2}b^{2}-(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2})^{2}]}$。依据上述公式解决下列问题：
(1)若一个三角形的三边长分别是5,6,7,则这个三角形的面积等于______(利用“海伦公式”计算)；
(2)若一个三角形的三边长分别是$\sqrt{5}$,3,$2\sqrt{5}$,求这个三角形的面积(利用“秦九韶公式”计算)。
(1)$6\sqrt{6}$
(2)解:$S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[a^{2}b^{2}-\left(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}\right)^{2}\right]}=\sqrt{\frac{1}{4} × \left[5 × 9-\left(\frac{5+9-20}{2}\right)^{2}\right]}=\sqrt{\frac{1}{4} × (45-9)}=3$.答:这个三角形的面积是 3.

答案： 解:
(1)$6\sqrt{6}$
(2)$S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[a^{2}b^{2}-\left(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}\right)^{2}\right]}=\sqrt{\frac{1}{4} × \left[5 × 9-\left(\frac{5+9-20}{2}\right)^{2}\right]}=\sqrt{\frac{1}{4} × (45-9)}=3$.答:这个三角形的面积是 3.

19. 阅读材料法运算能力 观察下列各式及其验证过程：
$\sqrt{2+\frac{2}{3}}= 2\sqrt{\frac{2}{3}}$。
验证：$\sqrt{2+\frac{2}{3}}= \sqrt{\frac{2×3 + 2}{3}}= \sqrt{\frac{2^{3}}{3}}= 2\sqrt{\frac{2}{3}}$；
$\sqrt{3+\frac{3}{8}}= 3\sqrt{\frac{3}{8}}$。
验证：$\sqrt{3+\frac{3}{8}}= \sqrt{\frac{3×8 + 3}{8}}= \sqrt{\frac{3^{3}}{8}}= 3\sqrt{\frac{3}{8}}$。
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律,直接写出用$n$($n\geq2$的整数)表示的等式。
(1)猜想：$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$，验证：$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=\sqrt{\frac{4×15 + 4}{15}}=\sqrt{\frac{64}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$，正确；
(2)$\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$。

答案： 解:
(1)猜想:$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$,验证:$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=\sqrt{\frac{64}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$,正确;
(2)$\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$.