《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

1. 将$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$化成最简二次根式为$\frac{\sqrt{6}}{3}$。

答案： $\frac{\sqrt{6}}{3}$

2. 把下列二次根式化成最简二次根式：
(1)$\sqrt{32}$； (2)$\sqrt{40}$；
(3)$\sqrt{1.5}$； (4)$\sqrt{\dfrac{4}{3}}$。

答案： 解:
(1)$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$；
(2)$\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=2\sqrt{10}$；
(3)$\sqrt{1.5}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{3×2}{2×2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$；
(4)$\sqrt{\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{4×3}{3×3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

3. 运算能力 化简：$\sqrt{\dfrac{ab}{a^{2}-b^{2}}}÷\sqrt{\dfrac{a + b}{a - b}}\cdot\sqrt{\dfrac{a + b}{a}}$。$(a＞0,b＞0)$

答案： 解:原式=$\sqrt{\frac{ab}{(a+b)(a-b)}}·\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}·\sqrt{\frac{a+b}{a}}=$
$\sqrt{\frac{ab}{(a+b)(a-b)}·\frac{a-b}{a+b}·\frac{a+b}{a}}=$
$\sqrt{\frac{b}{a+b}}=\frac{\sqrt{ab+b^{2}}}{a+b}$.

4. 数形结合思想 已知：实数$a,b$在数轴上对应点的位置如图所示。化简：$2\sqrt{(b - 1)^{2}}-\sqrt{(a + b)^{2}}-\vert a - b\vert$。

答案： 解:由题图可知,$b-1＞0,a+b＞0,a-b＜0$,$\therefore 2\sqrt{(b-1)^{2}}-\sqrt{(a+b)^{2}}-|a-b|=2(b-1)-(a+b)-(b-a)=2b-2-a-b-b+a=-2$.

5. 若某三角形的三边长分别为$2,5,n$,则化简$\sqrt{(3 - n)^{2}}+\vert8 - n\vert$的结果为5。

答案： 5

6. 分类讨论思想 设$x,y$为非零数,试求$\dfrac{x}{\vert x\vert}+\dfrac{\sqrt{y^{2}}}{y}$的值。

答案： 解:
(1)当x,y同号,
$x＞0,y＞0$时,原式=$\frac{x}{|x|}+\frac{|y|}{y}=\frac{x}{x}+\frac{y}{y}=1+1=2$;当$x＜0,y＜0$时,原式=$\frac{x}{|x|}+\frac{|y|}{y}=\frac{x}{-x}+\frac{-y}{y}=-1-1=-2$;
(2)当x,y异号,
$x＞0,y＜0$时,原式=$\frac{x}{|x|}+\frac{|y|}{y}=\frac{x}{x}+\frac{-y}{y}=1-1=0$;当$x＜0,y＞0$时,原式=$\frac{x}{|x|}+\frac{|y|}{y}=\frac{x}{-x}+\frac{y}{y}=-1+1=0$.
综上所述,故原式的值是2或-2或0.

7. 学习完二次根式后,杨老师给甲同学出了这样一道思考题：求$\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$的值。
甲同学认真分析了式子的结构,做出如下解答：
设$x= \sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$,
两边平方得$x^{2}= (\sqrt{3+\sqrt{5}})^{2}+(\sqrt{3-\sqrt{5}})^{2}+2\sqrt{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}$,即$x^{2}= 3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}+4$,$\therefore x^{2}= 10$,$\therefore x= \pm\sqrt{10}$,
$\because\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}＞0$,
$\therefore\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}= \sqrt{10}$,
请你参考上述方法,求$\sqrt{6+\sqrt{11}}+\sqrt{6-\sqrt{11}}$的值。
解:设$x=\sqrt{6+\sqrt{11}}+\sqrt{6-\sqrt{11}}$,两边平方得$x^{2}=(\sqrt{6+\sqrt{11}}+\sqrt{6-\sqrt{11}})^{2}$,
$x^{2}=(\sqrt{6+\sqrt{11}})^{2}+(\sqrt{6-\sqrt{11}})^{2}+2\sqrt{(6+\sqrt{11})(6-\sqrt{11})}$,
即$x^{2}=6+\sqrt{11}+6-\sqrt{11}+2\sqrt{36-11}$,
$\therefore x^{2}=22$,$\therefore x=\pm \sqrt{22}$,
$\because \sqrt{6+\sqrt{11}}+\sqrt{6-\sqrt{11}}＞0$,
$\therefore \sqrt{6+\sqrt{11}}+\sqrt{6-\sqrt{11}}=\sqrt{22}$.

答案： 解:设$x=\sqrt{6+\sqrt{11}}+\sqrt{6-\sqrt{11}}$,两边平方得$x^{2}=(\sqrt{6+\sqrt{11}}+\sqrt{6-\sqrt{11}})^{2}$,
$x^{2}=(\sqrt{6+\sqrt{11}})^{2}+(\sqrt{6-\sqrt{11}})^{2}+2\sqrt{(6+\sqrt{11})(6-\sqrt{11})}$,
即$x^{2}=6+\sqrt{11}+6-\sqrt{11}+2\sqrt{36-11}$,
$\therefore x^{2}=22$,$\therefore x=\pm \sqrt{22}$,
$\because \sqrt{6+\sqrt{11}}+\sqrt{6-\sqrt{11}}＞0$,
$\therefore \sqrt{6+\sqrt{11}}+\sqrt{6-\sqrt{11}}=\sqrt{22}$.