《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

23. (8 分)材料阅读题 【阅读材料】“换元法”是我们解数学题时常用的一种方法。它主要是将一个较为复杂的表达式用一个较为简单的符号或字母代替,从而简化问题,降低难度,使问题易于解决。例如解分式方程$\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} = 3$时,可以设$\frac{1}{x + 1} = y$,则原方程可以化为$y + 2y = 3$,解得$y = 1$,即$\frac{1}{x + 1} = 1$,去分母得$x + 1 = 1$,所以$x = 0$,检验：当$x = 0$时,$x + 1 ≠ 0$,所以$x = 0$是原方程的解。
问题：(1)若在方程$\frac{x - 1}{4x} - \frac{x}{x - 1} = 0$中,设$y = \frac{x - 1}{x}$,则原方程可化为______；
(2)若在方程$\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{4x + 4}{x - 1} = 0$中,设$y = \frac{x - 1}{x + 1}$,则原方程可化为______；
(3)利用换元法解方程：$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{3}{x - 1} - 1 = 0$。
(1)$\frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0$
(2)$y-\frac{4}{y}=0$
(3)原方程化为$\frac{x - 1}{x + 2}-\frac{x + 2}{x - 1}=0$,设$y = \frac{x - 1}{x + 2}$,则原方程化为$y - \frac{1}{y}=0$,方程两边同时乘$y$得$y^2 - 1 = 0$,解得$y = \pm 1$,经检验$y = \pm 1$都是方程$y - \frac{1}{y}=0$的解.当$y = 1$时,$\frac{x - 1}{x + 2}=1$,该方程无解;当$y = -1$时,$\frac{x - 1}{x + 2}=-1$,解得$x = -\frac{1}{2}$,经检验$x = -\frac{1}{2}$是原分式方程的解,$\therefore$原分式方程的解为$x = -\frac{1}{2}$

答案： 解:
(1)$\frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0$
(2)$y-\frac{4}{y}=0$
(3)原方程化为$\frac{x - 1}{x + 2}-\frac{x + 2}{x - 1}=0$,设$y = \frac{x - 1}{x + 2}$,则原方程化为$y - \frac{1}{y}=0$,方程两边同时乘$y$得$y^2 - 1 = 0$,解得$y = \pm 1$,经检验$y = \pm 1$都是方程$y - \frac{1}{y}=0$的解.当$y = 1$时,$\frac{x - 1}{x + 2}=1$,该方程无解;当$y = -1$时,$\frac{x - 1}{x + 2}=-1$,解得$x = -\frac{1}{2}$,经检验$x = -\frac{1}{2}$是原分式方程的解,$\therefore$原分式方程的解为$x = -\frac{1}{2}$.

24. (9 分)为了让学生切身体会城市之美来之不易,特设了种草实践活动。活动中(1)班和(2)班需各种植$36m^2$的草地,已知(2)班每小时比(1)班多制作$6m^2$的草地,(1)班完成任务所需要的时间是(2)班完成任务所需时间的$1.5$倍,求(1)、(2)两班每小时各种植多少平方米的草地。
(1)根据题意,小聪和小慧分别列出如下方程,请将画横线的部分补充完整。
小聪：设(1)班每小时种植$x m^2$的草地,所列方程为$\frac{36}{x} = 1.5×$$\frac{36}{x+6}$；
小慧：设(2)班所用时间为$y$小时,所列方程为$\frac{36}{y} - \frac{36}{1.5y} = $6；
(2)任选其中一种方法求出(1)、(2)两班每小时各种植多少平方米的草地；
(3)实践活动开始$1小时20$分钟后,张老师通知所有学生$1$小时后集中乘车返回。由于(1)班无法在规定时间完成,(2)班决定在完成本班任务后,立即帮助(1)班共同完成剩余任务。如果两班速度保持不变,他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由。
(2)设(1)班每小时种植$x\ m^2$的草地,则(2)班每小时种植$(x + 6)\ m^2$的草地,根据题意得$\frac{36}{x}=1.5×\frac{36}{x + 6}$,解得$x = 12$,经检验$x = 12$是原方程的解,$\therefore x + 6 = 18$.答:(1)班每小时种植$12\ m^2$的草地,(2)班每小时种植$18\ m^2$的草地;
(3)不能;理由:1小时20分钟$=\frac{4}{3}$小时,(1)班已完成$12×\frac{4}{3}=16(m^2)$;(2)班已完成$18×\frac{4}{3}=24(m^2)$;还剩余$36 - 16 + 36 - 24 = 32(m^2)$;两队合作1小时可完成$(12 + 18)×1 = 30(m^2)$,$\because 30 ＜ 32$,$\therefore$两班速度保持不变,他们不能在乘车前完成任务.

答案： 解:
(1)$\frac{36}{x + 6}$ 设
(2)班所用时间为$y$小时 6
(2)设
(1)班每小时种植$x\ m^2$的草地,则
(2)班每小时种植$(x + 6)\ m^2$的草地,根据题意得$\frac{36}{x}=1.5×\frac{36}{x + 6}$,解得$x = 12$,经检验$x = 12$是原方程的解,$\therefore x + 6 = 18$.答:
(1)班每小时种植$12\ m^2$的草地,
(2)班每小时种植$18\ m^2$的草地;
(3)不能;理由:1小时20分钟$=\frac{4}{3}$小时,
(1)班已完成$12×\frac{4}{3}=16(m^2)$;
(2)班已完成$18×\frac{4}{3}=24(m^2)$;还剩余$36 - 16 + 36 - 24 = 32(m^2)$;两队合作1小时可完成$(12 + 18)×1 = 30(m^2)$,$\because 30 ＜ 32$,$\therefore$两班速度保持不变,他们不能在乘车前完成任务.