《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

1. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{m}{x - 2} + \frac{3}{2 - x} = 1$ 的解是非正数,则 $ m $ 的取值范围是 (B)
A.$ m ＜ 1 $
B.$ m \leq 1 $
C.$ m \geq 1 $ 且 $ m \neq 3 $
D.$ m ＞ 1 $ 且 $ m \neq 3 $

答案： B

2. 关于 $ x $ 的方程 $\frac{3x}{x - 2} - 1 = \frac{2m}{2 - x}$ 的解不大于 3,则 $ m $ 的取值范围为 (C)
A.$ m \leq -2 $
B.$ m \geq -4 $
C.$ m \geq -4 $ 且 $ m \neq -3 $
D.$ m \leq 4 $ 且 $ m \neq 3 $

答案： C

3. 关于 $ x $ 的方程 $\frac{2x - m}{x - 1} - \frac{3}{1 - x} = 1$ 的解是正数,则 $ m $ 的取值范围是 m＞4且m≠5。

答案： m＞4且m≠5

4. 如果关于 $ x $ 的不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x - 2 \geq \frac{2x - 3}{3}, \\ x + 1 ＞ m\end{array} \right.$ 的解集为 $ x \geq 3 $,且关于 $ y $ 的分式方程 $\frac{m + 1}{y - 1} = 2 - \frac{1 + y}{1 - y}$ 的解为正数,则所有满足条件的整数 $ m $ 的值之和为 (C)
A.2
B.3
C.4
D.5

答案： C

5. 若关于 $ x $ 的一元一次不等式组 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x + 3}{2} \leq 4, \\ 2x - a \geq 2\end{array} \right.$ 至少有 2 个整数解,且关于 $ y $ 的分式方程 $\frac{a - 1}{y - 2} + \frac{4}{2 - y} = 2$ 有非负整数解,求所有满足条件的整数 $ a $ 的值之和是多少。

答案： 解：$\left\{\begin{array}{l} \frac {x+3}{2}\leq 4,\enclose{circle}{1}\\ 2x-a\geq 2,\enclose{circle}{2}\end{array}\right.$
解①得$x\leq 5$,解②得$x\geq \frac {a+2}{2}$,
∴该不等式组的解集为$\frac {a+2}{2}\leq x\leq 5$,
∵该不等式组至少有2个整数解,
$\therefore \frac {a+2}{2}\leq 4$,解得$a\leq 6$,解分式方程$\frac {a-1}{y-2}+\frac {4}{2-y}=2$,得$y=\frac {a-1}{2}$,
$\therefore \frac {a-1}{2}\geq 0$且$\frac {a-1}{2}\neq 2$,
$\therefore a\geq 1$且$a\neq 5$,
∴a的取值范围为$1\leq a\leq 6$且$a\neq 5$,
∴a可取的整数为1,2,3,4,6,
$\because \frac {a-1}{2}$是整数,
∴a=1或3,
∴1+3=4,
∴所有满足条件的整数a的值之和是4.

6. 若关于 $ x $ 的方程 $\frac{mx}{x + 3} = \frac{-3}{x + 3}$ 无解,则 $ m $ 的值为 (C)
A.-3
B.0 或 -1
C.0 或 1
D.-3 或 1

答案： C

7. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{2}{x - 3} + \frac{mx}{x^2 - 9} = \frac{5}{x + 3}$。
(1)若这个方程的解是正数,请求出 $ m $ 的取值范围；
(2)若这个方程无解,求出 $ m $ 的值。

答案： 7. 解:
(1)方程两边同乘$(x+3)(x-3)$,得$2(x+3)+mx=5(x-3)$,
解得$x=\frac {21}{3-m}$.由题意得$\frac {21}{3-m}＞0$,$\frac {21}{3-m}\neq \pm 3$,
∴$m＜3$且$m\neq -4$;
(2)由
(1)得$2(x+3)+mx=5(x-3)$,$(3-m)x=21$,
由题意得$3-m=0$或$\frac {21}{3-m}=\pm 3$,
解得$m=3$或$m=10$或$m=-4$.

8. 已知：$ A = \frac{x - 3}{x^2 - 1} $,$ B = \frac{1}{x - 1} $。
(1)求 $ A $ 与 $ B $ 的和；
(2)若 $ A = 3B $,求 $ x $ 的值；
(3)若关于 $ x $ 的方程 $ mA + B = \frac{2x + 6}{x^2 - 1} $ 无解,实数 $ m ＜ -2 $,求 $ m $ 的值。
8. 解:
(1)$\because A=\frac {x-3}{x^{2}-1},B=\frac {1}{x-1}$,
$\therefore A+B=\frac {x-3}{x^{2}-1}+\frac {1}{x-1}$
$=\frac {x-3}{(x+1)(x-1)}+\frac {x+1}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac {x-3+x+1}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac {2x-2}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac {2(x-1)}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac {2}{x+1}$;
(2)$\because A=3B$,$\therefore \frac {x-3}{x^{2}-1}=\frac {3}{x-1}$,方程可化为$\frac {x-3}{(x+1)(x-1)}=\frac {3}{x-1}$,方程两边同乘$(x+1)(x-1)$,得$x-3=3(x+1)$,解得$x=-3$,
经检验,$x=-3$是原分式方程的解,
∴x的值是-3;
(3)$\because mA+B=\frac {2x+6}{x^{2}-1}$,
$\therefore \frac {m(x-3)}{x^{2}-1}+\frac {1}{x-1}=\frac {2x+6}{x^{2}-1}$,
$\therefore \frac {mx-3m}{(x+1)(x-1)}+\frac {x+1}{(x+1)(x-1)}=\frac {2x+6}{(x+1)(x-1)}$,
∴$mx-3m+x+1=2x+6$,
即$(m-1)x=5+3m$,$\therefore x=\frac {5+3m}{m-1}$,
∵关于x的方程$mA+B=\frac {2x+6}{x^{2}-1}$无解,
$\therefore m-1=0$或$\frac {5+3m}{m-1}=\pm 1$,解得$m=1$或$m=-3$或$m=-1$,$\because m＜-2$,
∴$m=-3$.

答案： 8. 解:
(1)$\because A=\frac {x-3}{x^{2}-1},B=\frac {1}{x-1}$,
$\therefore A+B=\frac {x-3}{x^{2}-1}+\frac {1}{x-1}$
$=\frac {x-3}{(x+1)(x-1)}+\frac {x+1}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac {x-3+x+1}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac {2x-2}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac {2(x-1)}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac {2}{x+1}$;
(2)$\because A=3B$,$\therefore \frac {x-3}{x^{2}-1}=\frac {3}{x-1}$,方程可化为$\frac {x-3}{(x+1)(x-1)}=\frac {3}{x-1}$,方程两边同乘$(x+1)(x-1)$,得$x-3=3(x+1)$,解得$x=-3$,
经检验,$x=-3$是原分式方程的解,
∴x的值是-3;
(3)$\because mA+B=\frac {2x+6}{x^{2}-1}$,
$\therefore \frac {m(x-3)}{x^{2}-1}+\frac {1}{x-1}=\frac {2x+6}{x^{2}-1}$,
$\therefore \frac {mx-3m}{(x+1)(x-1)}+\frac {x+1}{(x+1)(x-1)}=\frac {2x+6}{(x+1)(x-1)}$,
∴$mx-3m+x+1=2x+6$,
即$(m-1)x=5+3m$,$\therefore x=\frac {5+3m}{m-1}$,
∵关于x的方程$mA+B=\frac {2x+6}{x^{2}-1}$无解,
$\therefore m-1=0$或$\frac {5+3m}{m-1}=\pm 1$,解得$m=1$或$m=-3$或$m=-1$,$\because m＜-2$,
∴$m=-3$.