《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

7. 练习变式教材P38,T1改编 下列说法正确的是(A)
A.命题一定有逆命题
B.所有的定理一定有逆定理
C.真命题的逆命题一定是真命题
D.假命题的逆命题一定是假命题

答案： A

8. 习题变式教材P38,T1改编 “相等的角是内错角”这个命题的逆命题是内错角相等,它们不是(选填“是”或“不是”)互逆定理。

答案： 内错角相等　不是

9. 下列图形中,能说明“相等的角是对顶角”为假命题的是(A)

答案： A

10. 易错题 下列命题的逆命题不成立的是(C)
A.如果两个数互为相反数,那么它们的和等于0
B.如果两个角相等,那么这两个角的补角也相等
C.如果两个数相等,那么它们的平方相等
D.如果$|a| = |b|$,那么$a = b$

答案： C

11. 较难题 写出命题“如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是$45^{\circ}$”的逆命题,并证明这个逆命题是真命题。

答案：
解:逆命题是:如果一个三角形的两个锐角的角平分线所夹的锐角是45°,那么这个三角形是直角三角形.
已知:如图,在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,交AC于点E，AD是∠CAB的平分线,交BC于点D,BE和AD相交于点O,且∠EOA=45°.

求证:△ABC是直角三角形.
证明:
∵BE是∠ABC的平分线,AD是∠CAB的平分线,
∴∠OAB=$\frac{1}{2}$∠CAB,∠OBA=$\frac{1}{2}$∠CBA,
∴∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$(∠CAB+∠CBA),
∴180° - ∠AOB=∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$(∠CAB+∠CBA)=$\frac{1}{2}$(180° - ∠C),
∴∠AOB=90°+$\frac{1}{2}$∠C.
又
∵∠EOA=45°,
∴∠AOB=135°=90°+$\frac{1}{2}$∠C,
∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形.

12. (1)完成下面的推理说明：
已知：如图,$BE // CF$,$BE$,$CF分别平分\angle ABC和\angle BCD$。
求证：$AB // CD$。
证明：∵$BE$,$CF分别平分\angle ABC和\angle BCD$(已知),
∴$\angle 1 = \frac{1}{2}$∠ABC,$\angle 2 = \frac{1}{2}$∠BCD(角平分线的定义)。
∵$BE // CF$(已知),
∴$\angle 1 = \angle 2$(两直线平行，内错角相等)。
∴$\frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \angle BCD$(等量代换)。
∴$\angle ABC = \angle BCD$(等式的性质)。
∴$AB // CD$(内错角相等，两直线平行)。
(2)说出(1)的推理中运用了哪两个互逆的真命题。
两个互逆的真命题为:两直线平行，内错角相等;内错角相等，两直线平行.

答案： 解:
(1)∠ABC　∠BCD　角平分线的定义　已知　两直线平行，内错角相等　等量代换　内错角相等，两直线平行
(2)两个互逆的真命题为:两直线平行，内错角相等;内错角相等，两直线平行.

13. 满足条件的结果开放推理能力【证明】(1)如图,$GF \perp AB于点F$,$CD \perp AB于点D$,$\angle 1 = \angle 2$,求证：$DE // BC$。请补全证明过程。
证明：∵$GF \perp AB$,$CD \perp AB$(已知),
∴$\angle BFG = \angle BDC = 90^{\circ}$(垂直的定义),
∴$FG // CD$(同位角相等，两直线平行),
∴$\angle 2 = \angle 3$(两直线平行,同位角相等)。
∵$\angle 1 = \angle 2$(已知),∴$\angle 1 = $$\angle 3$(等量代换),
∴$DE // BC$(内错角相等，两直线平行)；
【拓展】(2)若把(1)条件中的“$\angle 1 = \angle 2$”与结论“$DE // BC$”对调,其他条件不变,所得命题是真命题还是假命题？如果是真命题,写出证明过程；如果是假命题,举出反例；
【迁移】(3)如图,请你从四个选项：①$GF \perp AB$,②$CD \perp AB$,③$\angle 1 = \angle 2$,④$DE // BC$中,选出三个作为条件,另一个作为结论,可以组成4个真命题。

答案： 解:
(1)同位角相等，两直线平行　∠3　内错角相等，两直线平行
(2)是真命题.
证明:
∵GF⊥AB,CD⊥AB(已知),
∴∠BFG=∠BDC=90°(垂直的定义),
∴FG//CD(同位角相等，两直线平行),
∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等).
∵DE//BC(已知),
∴∠1=∠3(两直线平行,内错角相等),
∴∠1=∠2(等量代换);
(3)4