《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

1. 计算：(1)$\frac{ab + b^{2}}{5ab^{2}} \cdot \frac{15a^{2}b}{a^{2} - b^{2}}$；
(2)$(x + \frac{1}{x + 2}) ÷ (x - 2 + \frac{3}{x + 2})$.

答案： 1. 解:
(1)原式=$\frac{b(a+b)}{5ab^{2}}\cdot \frac{15a^{2}b}{(a+b)(a-b)}$=$\frac{3a}{a-b}$;
(2)原式=$\frac{(x+1)^{2}}{x+2}÷ \frac{x^{2}-1}{x+2}$=$\frac{(x+1)^{2}}{x+2}\cdot \frac{x+2}{(x+1)(x-1)}$=$\frac{x+1}{x-1}$.

2. 先化简$\frac{x^{2} - 2x + 1}{x^{2} - 1} ÷ (\frac{x - 1}{x + 1} - x + 1)$,然后从$-3 ＜ x \leq 1中选取一个合适的整数作为x$的值代入求值.

答案： 2. 解:原式=$\frac{(x-1)^{2}}{(x+1)(x-1)}÷ (\frac{x-1}{x+1}-\frac{x^{2}-1}{x+1})$=$\frac{x-1}{x+1}÷ \frac{x-x^{2}}{x+1}$=$\frac{x-1}{x+1}\cdot \frac{x+1}{x(1-x)}$=$-\frac{1}{x}$,
∵$(x+1)(x-1)\neq 0$且$x(1-x)\neq 0$,
∴$x\neq \pm 1$且$x\neq 0$,
∵$-3＜x\leqslant 1$,
∴$x=-2$,
∴原式=$\frac{1}{2}$.

3. 记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈,各直钱八百九十六文,■.”其大意为：“现在有绫布和罗布共$3$丈($1丈= 10$尺),已知绫布和罗布分别出售均能收入$896$文,■.”设绫布有$x$尺,则可得方程为$120 - \frac{896}{x} = \frac{896}{30 - x}$,根据此情境,题中“■”表示缺失的条件为每尺绫布和每尺罗布一共需要120文.

答案： 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文

4. 解分式方程：
(1)$\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{4}{x^{2} - 1} = 1$；
(2)$\frac{y}{y - 2} - \frac{2 - y^{2}}{y^{2} - 5y + 6} = \frac{2y}{y - 3}$.

答案： 4. 解:
(1)去分母,得$(x+1)^{2}-4=x^{2}-1$,整理,得$2x-3=-1$,解得$x=1$,检验:当$x=1$时,$x^{2}-1=0$,故原方程无解;
(2)去分母,得$y(y-3)-2+y^{2}=2y(y-2)$,整理,得$-3y-2=-4y$,解得$y=2$,检验:当$y=2$时,$(y-2)(y-3)=0$,故原方程无解.

5. 某商店共花费$12000$元采购了一批甲种酸奶和乙种酸奶进行销售,两种酸奶的采购费用相同,已知甲种酸奶每件的进价比乙种酸奶每件的进价少$10$元,且购进甲种酸奶的件数是乙种酸奶件数的$\frac{4}{3}$倍.
(1)求甲种酸奶和乙种酸奶每件的进价分别是多少；
(2)商店开始销售这批酸奶,已知甲种酸奶的售价为$44$元/件,一件乙种酸奶的售价比进价多$4a$元,商店为了减轻库房压力,在甲种酸奶销售一半后,对剩余的甲种酸奶打$a$折进行销售,使得甲种酸奶在保质期内全部销售完毕,而乙种酸奶最后剩余$10$件超过了保质期,只能停止出售,若要使销售这批酸奶的总利润率不低于$50\%$,求$a$的值至少为多少.

答案： 5. 解:
(1)设甲种酸奶每件的进价是$x$元,则乙种酸奶每件的进价是$(x+10)$元,由题意,得$\frac{6000}{x}=\frac{6000}{x+10}× \frac{4}{3}$,解得$x=30$,经检验,$x=30$是原方程的解,且符合题意,
∴$x+10=30+10=40$,答:甲种酸奶每件的进价是30元,乙种酸奶每件的进价是40元;
(2)由
(1)可知,购进甲种酸奶的件数为$6000÷ 30=200$(件),购进乙种酸奶的件数为$6000÷ 40=150$(件),由题意,得$44× \frac{1}{2}× 200+44× \frac{1}{2}× 200× 0.1a+(150-10)(40+4a)\geqslant 12000× (1+50\%)$,解得$a\geqslant 8$,答:$a$的值至少为8.