《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

20. (6 分)过程纠错 珍珍在学习二次根式时,化简$\sqrt{\frac{1}{12}}$的过程如下：

(1)上述解答过程中,从第______步开始出现了错误(填序号)；
(2)写出正确的化简过程。
(1)②
(2)$\sqrt{\frac{1}{12}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{1×\sqrt{3}}{2\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2×3}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

答案： 解$:(1)②(2)\sqrt{\frac{1}{12}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{1×\sqrt{3}}{2\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2×3}=\frac{\sqrt{3}}{6}.$

21. (6 分)新定义型阅读理解 定义两种新运算,规定：$a★b = \sqrt{a} - b$,$a☆b = \sqrt{a} + b$,其中$a$,$b为实数且a \geq 0$。
(1)求$(5★1)(5☆1)$的值；
(2)化简$(2★n)(2☆n)$。

答案： 解:
(1)原式$=(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=5-1=4;(2)$原式$=(\sqrt{2}+n)(\sqrt{2}-n)=2-n^{2}.$

22. (6 分)规律探究 先阅读材料,再回答问题：
$\sqrt{1^3} = \sqrt{1^2} = 1$；
$\sqrt{1^3 + 2^3} = \sqrt{3^2} = 3$；
$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3} = \sqrt{6^2} = 6$；
$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3} = \sqrt{10^2} = 10$；…
(1)请根据以上规律写出第七个等式；
(2)根据以上规律,若一个等式的最右边的值是 55,请写出这个等式；
(3)根据以上规律,写出第$n$个等式。(用含有$n$的式子表示,$n$为整数,且$n \geq 1$)

答案： 解:
(1)第七个等式为$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}+7^{3}}=\sqrt{28^{2}}=28;(2)$
∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55,
∴当一个等式的最右边的值是55,这个等式为$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}+7^{3}+8^{3}+9^{3}+10^{3}}=\sqrt{55^{2}}=55;(3)$第n个等式为$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}+\cdots+n^{3}}=\sqrt{\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}}=\frac{n(n+1)}{2}.$