《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

1. 如图,在一个风筝 $ABCD$ 中,$AB = AD$,$BC = DC$,分别在 $AB$,$AD$ 的中点 $E$,$F$ 处挂两根彩线 $EC$,$FC$。求证：$EC = FC$。

答案： 证明:在题图上连接AC.
在△ABC与△ADC中,
AB=AD,
BC=DC,
AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠EAC=∠FAC.
∵E,F分别是AB,AD的中点,
∴AE=$\frac{1}{2}$AB,AF=$\frac{1}{2}$AD,
∵AB=AD,
∴AE=AF.
在△AEC与△AFC中,
AE=AF,
∠EAC=∠FAC,
AC=AC,
∴△AEC≌△AFC(SAS),
∴EC=FC.

2. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$O$ 是边 $BC$ 的中点,延长 $BA$ 到点 $D$,使 $AD = AB$,延长 $CA$ 到点 $E$,使 $AE = AC$,连接 $OD$,$OE$,求证：$\angle BOE = \angle COD$。

答案： 证明:在题图上连接OA,
∵O为BC的中点,
∴BO=CO,
∵AB=AC,AO=AO,
∴△BOA≌△COA(SSS),
∴∠AOB=∠AOC=90°,
∠BAO=∠CAO,
∵∠EAB=∠DAC,
∴∠EAO=∠DAO,
∵AD=AB,AE=AC,AB=AC,
∴AD=AE,
∵OA=OA,
∴△EAO≌△DAO(SAS),
∴∠AOE=∠AOD,
∴∠AOB - ∠AOE=∠AOC - ∠AOD,
即∠BOE=∠COD.

3. (1)如图 1,已知 $CE$ 与 $AB$ 交于点 $E$,$AC = BC$,$\angle 1 = \angle 2$。求证：$\triangle ACE \cong \triangle BCE$；
(2)如图 2,已知 $CD$ 的延长线与 $AB$ 交于点 $E$,$AD = BC$,$\angle 3 = \angle 4$。探究 $AE$ 与 $BE$ 的数量关系,并说明理由。

答案：
3. 解:
(1)证明:在△ACE和△BCE中,
AC=BC,
∠1=∠2,
CE=CE,
∴△ACE≌△BCE(SAS);
(2)AE=BE.理由如下:如图,在CE上截取CF=DE,连接BF,
在△ADE和△BCF中,
AD=BC,
∠3=∠4,
DE=CF,
∴△ADE≌△BCF(SAS),
∴AE=BF,
∠AED=∠BFC,
∵∠AED+∠BEF=180°,∠CFB+∠EFB=180°,
∴∠BEF=∠EFB,易证得BE=BF,
∴AE=BE.

4. (1)如图 1,$BD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线,延长 $BD$ 至点 $E$,使得 $DE = BD$,连接 $AE$。
① 求证：$\triangle ADE \cong \triangle CDB$；
② 若 $AB = 6$,$BC = 4$,设 $BD = x$,则 $x$ 的取值范围是 ______；
(2)参考(1)中的方法,完成以下问题：
如图 2,$BD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线,$\angle ABC = \angle ACB$,点 $E$ 在 $AC$ 的延长线上,连接 $BE$,$CE = AB$,求证：$BE = 2BD$。

答案：
4. 解:
(1)①证明:
∵BD是△ABC的中线,
∴AD=CD,
在△ADE和△CDB中,
AD=CD,
∠ADE=∠CDB,
DE=DB,
∴△ADE≌△CDB(SAS);
②1＜x＜5
(2)证明:如图,延长BD至点F,使得DF=BD,连接CF,则BF=2BD,
同
(1)得△CFD≌△ABD(SAS),
∴CF=AB,∠DCF=∠A,
∵CE=AB,
∴CE=CF,
∵∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC+∠A=∠ACB+∠DCF,
∴∠BCE=∠BCF,
在△BCE和△BCF中,
CE=CF,
∠BCE=∠BCF,
BC=BC,
∴△BCE≌△BCF(SAS),
∴BE=BF,
∴BE=2BD.