《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

12. (6分)已知:分式$\frac{2}{2 - m}$.
(1)当$m$为何值时,该式无意义?
(2)当$m$为何整数时,该式的值为正整数?

答案： 解:
(1)由题意,得2-m=0,解得m=2;
(2)
∵$\frac{2}{2-m}$的值为正整数,
∴2-m=1或2-m=2,解得m=1或0.

13. (10分)计算:
(1)$(a^2 - 4) ÷ \frac{a + 2}{a}$;
(2)$(- 2ab) ÷ \frac{ab^2}{a - b} \cdot \frac{1}{2}(b - a)^2$;
(3)$\frac{4a^2b}{3cd^2} \cdot \frac{5c^2d}{4ab^2} ÷ \frac{2abc}{3d}$.

答案： 解:
(1)原式=(a+2)(a-2)·$\frac{a}{a+2}$=a(a-2)=a²-2a;
(2)原式=(-2ab)·$\frac{a-b}{ab^2}$·$\frac{1}{2}$(b-a)²=$\frac{(b-a)^3}{b}$;
(3)原式=$\frac{4a^2b}{3cd^2}$·$\frac{5c^2d}{4ab^2}$·$\frac{3d}{2abc}$=$\frac{5}{2b^2}$.

14. (10分)计算:
(1)$\frac{a^2 + 3a}{a^2 - 3a} - \frac{a - 3}{a} \cdot (\frac{2a}{a - 3})^2$;
(2)$\frac{1}{b - a} - \frac{a - b}{a} ÷ \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a}$.

答案： 解:
(1)原式=$\frac{a(a+3)}{a(a-3)}$-$\frac{a-3}{a}$·$\frac{4a^2}{(a-3)^2}$=$\frac{a+3}{a-3}$-$\frac{4a}{a-3}$=$\frac{3-3a}{a-3}$;
(2)原式=$\frac{1}{b - a}$-$\frac{a - b}{a}$÷$\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a}$=$\frac{-1}{a - b}$-$\frac{a - b}{a}$·$\frac{a}{(a - b)^2}$=$\frac{-1}{a - b}$-$\frac{1}{a - b}$=-$\frac{2}{a - b}$.

15. (7分)先化简:$(\frac{3}{x + 2} + x - 2) ÷ \frac{x^2 - 1}{x^2 + 4x + 4}$,再从不等式组$\begin{cases}2x + 3 ＞ - 3,\frac{x + 4}{2} ＜ 3\end{cases} $的解集中选一个合适的整数代入求值.

答案： 解:原式=($\frac{3}{x + 2}$ + x - 2) ÷ $\frac{x^2 - 1}{x^2 + 4x + 4}$=($\frac{3}{x + 2}$ + $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}$)·$\frac{(x + 2)^2}{(x + 1)(x - 1)}$=($\frac{3 + x^2 - 4}{x + 2}$)·$\frac{(x + 2)^2}{(x + 1)(x - 1)}$=$\frac{(x + 1)(x - 1)}{x + 2}$·$\frac{(x + 2)^2}{(x + 1)(x - 1)}$=x + 2,解不等式组$\begin{cases}2x + 3 ＞ - 3\frac{x + 4}{2} ＜ 3\end{cases}$得-3 ＜ x ＜ 2,其中整数有-2,-1,0,1,由题意,得x≠±1,-2,
∴x=0,当x=0时,原式=x + 2=0 + 2=2.

16. (11分)如图,将长、宽分别为$a$,$b$的长方形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形,已知拼成的大正方形面积为49,中间的小正方形的面积为1.求$(a^4 - b^4) ÷ \frac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)$的值.

答案： 解:由题意,得(a + b)²=49,(a - b)²=1,a＞0,b＞0,a＞b,
∴(a + b)² - (a - b)²=48,a + b=7,
∴a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b²=48,
∴ab=12,
∴原式=(a² + b²)(a + b)(a - b)×$\frac{ab}{a^2 + b^2}$×$\frac{1}{6(a - b)}$=$\frac{ab(a + b)}{6}$=$\frac{12×7}{6}$=14.

17. (12分)【阅读材料】若分式$A与分式B$的差等于它们的积,即$A - B = AB$,则称分式$B是分式A$的“关联分式”.例如分式$A = \frac{1}{x + 1}$,$B = \frac{1}{x + 2}$,$\because A - B = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1)(x + 2)}$,$A \cdot B = \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1)(x + 2)}$,$\therefore B是A$的“关联分式”.
【解决问题】(1)已知分式$A = \frac{2}{a - 1}$,$B = \frac{2}{a + 1}$,判断$B是不是A$的“关联分式”;
(2)求分式$\frac{1}{x^2 - y^2}$的“关联分式”;
【拓展延伸】(3)观察(1)(2)的结果,分式$\frac{x}{x^n + y^n}$的“关联分式”为$\frac{x}{x + x^n + y^n}$.

答案： 解:
(1)
∵A - B=$\frac{2}{a - 1}$ - $\frac{2}{a + 1}$=$\frac{2(a + 1)}{(a + 1)(a - 1)}$ - $\frac{2(a - 1)}{(a + 1)(a - 1)}$=$\frac{2a + 2 - 2a + 2}{(a + 1)(a - 1)}$=$\frac{4}{(a + 1)(a - 1)}$,A·B=$\frac{2}{a - 1}$·$\frac{2}{a + 1}$=$\frac{4}{(a + 1)(a - 1)}$,
∴A - B=AB,
∴B是A的"关联分式";
(2)设分式$\frac{1}{x² - y²}$的"关联分式"为M,根据新定义,得$\frac{1}{x² - y²}$ - M=$\frac{M}{x² - y²}$,
∴M=$\frac{1}{x² - y² + 1}$,
∴分式$\frac{1}{x² - y²}$的"关联分式"为$\frac{1}{x² - y² + 1}$;
(3)$\frac{x}{x + x^n + y^n}$