《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

10. 下面说法正确的是(D)

A.$(\frac{\pi}{2})^0$是无理数
B.$\sqrt{\frac{3}{2}}$是有理数
C.$\frac{7}{5}$是无理数
D.$\sqrt[3]{27}$是有理数

答案： D

11. 设$a$是一个无理数,且$a$,$b满足ab - a - b + 1 = 0$,则$b$是一个(B)
A.小于 0 的有理数
B.大于 0 的有理数
C.小于 0 的无理数
D.大于 0 的无理数

答案： B

12. $0$,$1$,$2$,$3$,$4$,$5$,$6$,$7$,$8$,$9$,$10$这 11 个数的平方根及立方根中,有理数有0,1,4,9的平方根与0,1,8的立方根；无理数有2,3,5,6,7,8,10的平方根与2,3,4,5,6,7,9,10的立方根。

答案： 0,1,4,9的平方根与0,1,8的立方根；2,3,5,6,7,8,10的平方根与2,3,4,5,6,7,9,10的立方根

13. 有特定结构的数：
①$0.101 001 000 1$；
②$0.101 001 000 1…$；
③$0.101 010 101 0…$。
其中有理数是①③,无理数是②。(只填序号)

答案： ①③ ②

14. 在下列各数中,哪些数是有理数？哪些数是无理数？
$-\frac{11}{12}$,$\sqrt[3]{2}$,$-\sqrt{4}$,$0$,$-\sqrt{0.4}$,$\sqrt[3]{8}$,$\frac{\pi}{4}$,$0.\dot{2}\dot{3}$,$3.14$。

答案： 解:有理数:$-\frac{11}{12},-\sqrt{4},0,\sqrt[3]{8},0.\dot{2}\dot{3},3.14$;无理数:$\sqrt[3]{2},-\sqrt{0.4},\frac{\pi}{4}$.

15. 已知长方体的体积是 1 620,它的长、宽、高的比是$5:4:3$,问长方体的长、宽、高是无理数吗？为什么？

答案： 解:长、宽、高不是无理数.理由:设长、宽、高分别为5x,4x,3x.由体积得$60x^{3}=1620$,解得x=3,
∴长方体的长、宽、高分别为15,12,9,均不是无理数.

16. 分类讨论思想 如图,是一个数值转换器,原理如图所示。
(1)当输入的$x$值为 16 时,求输出的$y$值；
(2)是否存在输入的$x$值后,始终输不出$y$值？如果存在,请直接写出所有满足要求的$x$值；如果不存在,请说明理由；
(3)输入一个两位数$x$,恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数,则$x = $25 或 36 或 49 或 64。

解:
(1)$\sqrt{16}=4,\sqrt{4}=2$,则$y=\sqrt{2}$;
(2)存在,当x=0或1时,始终输不出y值,若输入负数,始终输不出y值,综上所述,x=0或1或负数;
(3)25 或 36 或 49 或 64

答案： 解:
(1)$\sqrt{16}=4,\sqrt{4}=2$,则$y=\sqrt{2}$;
(2)存在,当x=0或1时,始终输不出y值,若输入负数,始终输不出y值,综上所述,x=0或1或负数;
(3)25 或 36 或 49 或 64

17. 新定义阅读理解题运算能力 新定义：若无理数$\sqrt{T}$的被开方数($T$为正整数)满足$n^2 ＜ T ＜ (n + 1)^2$(其中$n$为正整数),则称无理数$\sqrt{T}$的“青一区间”为$(n,n + 1)$；同理规定无理数$-\sqrt{T}$的“青一区间”为$(-n - 1,-n)$。例如：因为$1^2 ＜ 2 ＜ 2^2$,所以$\sqrt{2}$的“青一区间”为$(1,2)$,$-\sqrt{2}$的“青一区间”为$(-2,-1)$,请回答下列问题：
(1)$\sqrt{17}$的“青一区间”为(4,5)；$-\sqrt{23}$的“青一区间”为(-5,-4)；
(2)若无理数$\sqrt{a}$($a$为正整数)的“青一区间”为$(2,3)$,$\sqrt{a + 3}$的“青一区间”为$(3,4)$,求$\sqrt[3]{a + 1}$的值；
解:
∵无理数$\sqrt{a}$(a为正整数)的“青一区间”为(2,3),
∴$2^{2}＜a＜3^{2}$,即4＜a＜9,
∵$\sqrt{a+3}$的“青一区间”为(3,4),
∴$3^{2}＜a+3＜4^{2}$,即9＜a+3＜16,
∴6＜a＜13,
∴6＜a＜9,
∵a为正整数,
∴a=7 或 a=8,当 a=7 时,$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{8}=2$,当a=8时,$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{9}$,
∴$\sqrt[3]{a+1}$的值为2或$\sqrt[3]{9}$;
(3)实数$x$,$y$,满足关系式：$\sqrt{x - 3} + |2 024 + (y - 4)^2| = 2 024$,求$\sqrt{xy}$的“青一区间”。
解:
∵$\sqrt{x-3}+|2024+(y-4)^{2}|=2024$,
∴$\sqrt{x-3}+2024+(y-4)^{2}=2024$,
∴$\sqrt{x-3}+(y-4)^{2}=0$,
∴x=3,y=4,
∴xy=12,
∵$3^{2}＜12＜4^{2}$,
∴$\sqrt{12}$的“青一区间”是(3,4).

答案： 解:
(1)(4,5) (-5,-4)
(2)
∵无理数$\sqrt{a}$(a为正整数)的“青一区间”为(2,3),
∴$2^{2}＜a＜3^{2}$,即4＜a＜9,
∵$\sqrt{a+3}$的“青一区间”为(3,4),
∴$3^{2}＜a+3＜4^{2}$,即9＜a+3＜16,
∴6＜a＜13,
∴6＜a＜9,
∵a为正整数,
∴a=7 或 a=8,当 a=7 时,$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{8}=2$,当a=8时,$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{9}$,
∴$\sqrt[3]{a+1}$的值为2或$\sqrt[3]{9}$;
(3)
∵$\sqrt{x-3}+|2024+(y-4)^{2}|=2024$,
∴$\sqrt{x-3}+2024+(y-4)^{2}=2024$,
∴$\sqrt{x-3}+(y-4)^{2}=0$,
∴x=3,y=4,
∴xy=12,
∵$3^{2}＜12＜4^{2}$,
∴$\sqrt{12}$的“青一区间”是(3,4).