《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

11. 若分式方程$\frac{1}{x - 1} + \frac{k}{x^2 - 1} = \frac{3}{x + 1}$有增根,则 $k$ 的值为(D)
A.$\pm 1$
B.$-2$
C.$-6$
D.$-2或-6$

答案： D

12. 已知关于 $x$ 的分式方程$\frac{a}{x + 1} = 1$,对于该方程的解,甲、乙两人有以下说法：甲：若方程的解是负数,则 $a ＜ 1$；乙：当 $a ＞ 1$ 时,方程的解是正数。关于甲、乙两人的说法,正确的是(C)
A.甲、乙都对
B.只有甲对
C.只有乙对
D.甲、乙都错

答案： C

13. 代数式$\frac{3}{x + 2}与代数式\frac{2}{x - 1}$的值相等,则 $x = $7。

答案： 7

14. 易错题 如果分式方程$\frac{m}{x - 2} + 3 = \frac{1 - x}{2 - x}$($m$ 为常数)无解,那么 $m = $1。

答案： 1

15. 过程纠错题 小丽解分式方程 $1 - \frac{x - 3}{2x + 2} = \frac{3x}{x + 1}$ 时,出现了错误,她的解题过程如下：
解：去分母,得 $2x + 2 - (x - 3) = 3x$,……第一步
解得 $x = \frac{5}{2}$,……第二步
$\therefore$ 原分式方程的解是 $x = \frac{5}{2}$。……第三步
(1)小丽解答过程从第一步开始出错,此步的正确结果是2x+2-(x-3)=6x,这一步的依据是等式的基本性质；
(2)小丽解题过程缺少的步骤是检验；
(3)请写出正确的解题过程。
解：去分母，得$2x + 2 - (x - 3) = 6x$，解得$x = 1$，经检验，$x = 1$是原方程的解，$\therefore$原分式方程的解是$x = 1$。

答案： 解:
(1)一 2x+2-(x-3)=6x 等式的基本性质
(2)检验
(3)去分母,得2x+2-(x-3)=6x,解得x=1,经检验,x=1是原方程的解,
∴原分式方程的解是x=1.

16. 如图,点 $A$,$B$ 在数轴上且点 $A$ 在点 $B$ 的左侧,它们所对应的数分别是$\frac{2}{x - 2}和\frac{1 - x}{2 - x}$。
(1)当 $x = 1.5$ 时,求 $AB$ 的长；
(2)当点 $A$ 到原点的距离比 $B$ 到原点的距离多 $3$,求 $x$ 的值。

答案： 解:
(1)根据题意,得(1-x)/(2-x)-2/(x-2)=(x-3)/(x-2),当x=1.5时,AB=(-1.5)/(-0.5)=3;
(2)根据题意,得2/(2-x)-(x-1)/(2-x)=3,去分母,得2-x+1=6-3x,解得x=1.5,经检验,x=1.5是分式方程的解.

17. 已知关于 $x$ 的分式方程$\frac{1}{x - 1} + 2 = \frac{k - 1}{1 - x}$。
(1)若分式方程的解为 $x = 2$,求 $k$ 的值；
(2)若分式方程有正数解,求 $k$ 的取值范围。

答案： 解:
(1)将x=2代入分式方程1/(x-1)+2=(k-1)/(1-x),得1/(2-1)+2=(k-1)/(1-2),解得k=-2;
(2)1/(x-1)+2=(k-1)/(1-x),去分母,得1+2(x-1)=-(k-1),解得x=(2-k)/2,
∵分式方程有正数解,
∴(2-k)/2＞0且(2-k)/2≠1,解得k＜2且k≠0,
∴k的取值范围是k＜2且k≠0.

18. 代数推理推理能力 阅读下列材料：
方程$\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 3}$的解是 $x = 1$；
方程$\frac{1}{x} - \frac{1}{x - 1} = \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 4}$的解是 $x = 2$；
方程$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x - 5}$的解是 $x = 3$；
(1)根据上述规律,可知解为 $x = 5$ 的方程为$\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 4} = \frac{1}{x - 6} - \frac{1}{x - 7}$；
(2)通过解分式方程说明你写的方程是正确的。

答案： 解:
(1)1/(x-3)-1/(x-4)=1/(x-6)-1/(x-7)
(2)方程变形为(x-4-x+3)/[(x-3)(x-4)]=(x-7-x+6)/[(x-6)(x-7)],
∴-1/[(x-3)(x-4)]=-1/[(x-6)(x-7)],
∴1/[(x-3)(x-4)]=1/[(x-6)(x-7)],方程两边同时乘(x-3)(x-4)(x-6)(x-7),得(x-6)(x-7)=(x-3)(x-4),解得x=5,当x=5时,(x-3)(x-4)(x-6)(x-7)≠0,
∴x=5是原分式方程的解.