《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

1. 易错题 问题情境:数学活动课上,王老师出示了一个问题:如图1,在△ABC中,D是AB上一点,∠ADC= ∠ACB.求证:∠ACD= ∠ABC.
独立思考:(1)请解答王老师提出的问题;
实践探究:(2)在原有问题条件不变的情况下,王老师增加下面的条件,并提出新问题,请你解答.
“如图2,延长CA至点E,使CE= BD,BE与CD的延长线相交于点F,点G,H分别在BF,BC上,BG= CD,∠BGH= ∠BCF.在图中找出与BH相等的线段,并证明.”
(第1题图)

答案：
1. 解:
(1)证明:
∵∠ADC=∠ACB,
∴∠B+∠DCB=∠DCB+∠ACD,
∴∠ACD=∠B;
(2)BH=EF.证明:如图,在CB上取一点T,使得GH=CT,连接DT.
在△BGH和△DCT中,
{GB=CD,
∠BGH=∠DCT,
GH=CT,
∴△BGH≌△DCT(SAS),
∴BH=DT,∠GBH=∠CDT,
∵∠CDT+∠FDT=180°,
∴∠GBH +∠FDT=180°,
∴∠BFD+∠BTD=180°,
∵∠CFE+∠BFD=180°,
∴∠CFE=∠BTD,
在△CEF和△BDT中,
{∠CFE=∠BTD,
∠ECF=∠DBT,
CE=BD,
∴△CEF≌△BDT(AAS),
∴EF=DT,
∴EF=BH.

2. 如图,点C,E,B,F在同一条直线上,AB= DE,AC= DF,BF= CE.证明:AC//DF.

答案： 2. 证明:
∵CE=BF,
∴CE+BE=BF+BE,即BC=EF,又
∵AB=DE,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SSS),
∴∠ACB=∠DFE,
∴AC//DF.

3. 中考新考法 综合与实践 (1)问题发现:如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形(三角形的三边相等,三个角均为60°),连接CE,BD,延长BD交CE于点F,求证:BD= CE,∠BFC= 60°;
(2)类比探究:如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,即AB= AC,AD= AE,∠BAC= ∠DAE= 90°,则BD与CE存在怎样的数量关系及位置关系,并说明理由;(四边形内角和为360°)
(3)问题解决:如图2,若△ABC和△ADE都是等腰三角形,且AB= AC,AD= AE,∠BAC= ∠DAE= α,请直接写出线段BD和CE的数量关系及它们所在直线的夹角.

答案： 3. 解:
(1)证明:
∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,∠BDA=∠CEA,
∵∠BDA+∠ADF=180°,
∴∠AEC+∠ADF=180°,
∴∠DAE+∠DFE=180°,
∴∠DFE=120°,
∴∠BFC=60°;
(2)BD=CE,BD⊥CE,理由如下:
∵AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,∠BDA=∠CEA,
∵∠BDA+∠ADF=180°,
∴∠AEC+∠ADF=180°,
∴∠DAE+∠DFE=180°,
∴∠DFE=90°,
∴BD⊥CE;
(3)BD=CE,直线BD和直线CE的夹角为180°-α或α.