《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

8. 化简$\frac{2a}{a^{2} - 1} + \frac{1}{1 - a}$的结果正确的是(C)
A.$\frac{3a + 1}{a^{2} - 1}$　　
B.$\frac{3a - 1}{a^{2} - 1}$　　
C.$\frac{1}{a + 1}$　　
D.$\frac{1}{a - 1}$

答案： C

9. 分式$\frac{1}{a + b}$,$\frac{2a}{a^{2} - b^{2}}$,$\frac{b}{a - b}$的最简公分母是(D)
A.$(a^{2} - b^{2})(a + b)(a - b)$　　
B.$(a^{2} - b^{2})(a + b)$
C.$(a^{2} - b^{2})(b - a)$　　
D.$a^{2} - b^{2}$

答案： D

10. 化简$\frac{a - 1}{a} + \frac{1}{a}$的结果是(B)
A.$0$　　
B.$1$　　
C.$a$　　
D.$a - 2$

答案： B

11. 计算$\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^{2} - 1}$的结果等于(C)
A.$-1$　　
B.$x - 1$　　
C.$\frac{1}{x + 1}$　　
D.$\frac{1}{x^{2} - 1}$

答案： C

12. 由$(\frac{1 + c}{2 + c} - \frac{1}{2})的值的正负可以比较A = \frac{1 + c}{2 + c}与\frac{1}{2}$的大小,下列正确的是(　　)

A.当$c = -2$时,$A = \frac{1}{2}$　　
B.当$c = 0$时,$A \neq \frac{1}{2}$
C.当$c ＜ -2$时,$A ＞ \frac{1}{2}$　　
D.当$c ＜ 0$时,$A ＜ \frac{1}{2}$

答案： C

13. 已知$x = 2 + y$,则式子$\frac{3x + 2y}{x^{2} - y^{2}} + \frac{x}{y^{2} - x^{2}}$的值为1。

答案： 1

14. 甲、乙两地相距$s$km,汽车从甲地到乙地以每小时$v$km的速度行驶,可按时到达,若每小时多行驶$a$km,则汽车可提前几小时到达？

答案： 解:由题意,得$\frac{s}{v}-\frac{s}{v+a}=\frac{s(v+a)}{v(v+a)}-\frac{sv}{v(v+a)}=\frac{sa}{v(v+a)}$.所以汽车可提前$\frac{sa}{v(v+a)}$h到达.

15. 对于四个整式,$A$：$2x^{2}$；$B$：$mx + 5$；$C$：$-2x$；$D$：$n$。无论$x$取何值,$B + C + D的值都为0$。
(1)求$m$,$n$的值；
(2)计算$A - B + C - D$；
(3)若$\frac{B}{A} - \frac{D}{C}$的值是正数,直接写出$x$的取值范围。

答案： 解:
(1)
∵B:$mx+5$;C:$-2x$;D:$n$,且无论x取何值,B+C+D的值都为0,
∴B+C+D=$mx+5-2x+n=(m-2)x+(n+5)=0$,
∴$m-2=0$,$n+5=0$,解得$m=2$,$n=-5$;
(2)由
(1)知$m=2$,$n=-5$,
∴A - B + C - D=$2x^{2}-mx-5-2x-n=2x^{2}-2x-5-2x+5=2x^{2}-4x$;
(3)$x＜\frac{5}{3}$且$x≠0$.

16. 【阅读理解】我们在比较两个数或代数式的大小时,解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一,“作差法”就是通过作差、变形,利用差的符号确定它们的大小,即要比较代数式$M$,$N$的大小,只要作出差$M - N$,若$M - N ＞ 0$,则$M ＞ N$；若$M - N = 0$,则$M = N$；若$M - N ＜ 0$,则$M ＜ N$。
【解决问题】(1)若$n ＞ 0$,则$\frac{n + 1}{n} - \frac{n + 2}{n + 1}$＞0；
(2)已知$A = \frac{m^{2} + 6m + 9}{m^{2} - 9}$,$B = \frac{2m + 1}{2m + 6}$,当$m ＞ -3$时,试比较$\frac{1}{A}与B$的大小。
解:$\frac{1}{A}-B=\frac{m^{2}-9}{m^{2}+6m+9}-\frac{2m+1}{2m+6}=\frac{(m+3)(m-3)}{(m+3)^{2}}-\frac{2m+1}{2(m+3)}=\frac{2m-6}{2(m+3)}-\frac{2m+1}{2(m+3)}=-\frac{7}{2(m+3)}$,∵$m＞-3$,∴$2(m+3)＞0$,∴$-\frac{7}{2(m+3)}＜0$,∴$\frac{1}{A}＜B$.

答案： 解:
(1)＞;
(2)$\frac{1}{A}-B=\frac{m^{2}-9}{m^{2}+6m+9}-\frac{2m+1}{2m+6}=\frac{(m+3)(m-3)}{(m+3)^{2}}-\frac{2m+1}{2(m+3)}=\frac{2m-6}{2(m+3)}-\frac{2m+1}{2(m+3)}=-\frac{7}{2(m+3)}$,
∵$m＞-3$,
∴$2(m+3)＞0$,
∴$-\frac{7}{2(m+3)}＜0$,
∴$\frac{1}{A}＜B$.