《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

1. 下列各式：$\frac{1}{5}x$,$\frac{4x}{\pi - 3}$,$\frac{x - y}{2}$,$\frac{a + 1}{b}$,$\frac{5x^2}{y}$。其中分式共有(D)
A.$5$个
B.$4$个
C.$3$个
D.$2$个

答案： D

2. “孔子周游列国”是流传很广的故事。有一次他和学生到离他们住的驿站$30$里的书院参观,学生步行出发$1h$后,孔子坐牛车出发,牛车的速度是步行的$1.5$倍,孔子和学生们同时到达书院,设学生步行的速度为每小时$x$里,则可列方程为$\frac{30}{x}=\frac{30}{1.5x}+1$。

答案： $\frac{30}{x}=\frac{30}{1.5x}+1$

3. 若关于$x的分式方程\frac{2}{x - 1} + \frac{mx}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{1}{x + 2}$有增根,则$m$的值为(D)
A.$1.5$
B.$-6$
C.$1或-2$
D.$1.5或-6$

答案： D

4. 若$\frac{a}{a - 2} = \frac{a^2}{M}$,则$M$为(D)
A.$a^2 - 2$
B.$2a - 1$
C.$2a - 2$
D.$a^2 - 2a$

答案： D

5. 先化简,再求值：$\frac{2}{x^2 - 2x} - \frac{x - 6}{x^2 - 4x + 4} ÷ \frac{x - 6}{x - 2}$,请从$0$,$2$,$5$,$6这四个整数中选一个适当的数作为x$的值代入求值。

答案： 解:原式$=\frac{2}{x(x-2)}-\frac{x-6}{(x-2)^2}\cdot\frac{x-2}{x-6}=\frac{2}{x(x-2)}-\frac{1}{x-2}=\frac{2}{x(x-2)}-\frac{x}{x(x-2)}=\frac{2-x}{x(x-2)}=-\frac{1}{x}$.
要使原代数式有意义,分母和除式里的除数都不为 0,
∴x 只能取 5,
当$x=5$时,原式$=-\frac{1}{x}=-\frac{1}{5}$.

6. 定义：$a\otimes b = 2a + \frac{1}{b}$。根据定义,解答下列问题：
(1)$2\otimes (-1)$ = 3；
(2)计算$\left[\frac{1}{x - y}\otimes (x + y)\right] - \left[\frac{1}{x + y}\otimes (x - y)\right]$；
(3)求方程$2\otimes (x - 2) = 1\otimes (4 - 2x)$的解。

答案： 解:
(1)3
(2)原式$=\frac{2}{x-y}+\frac{1}{x+y}-(\frac{2}{x+y}+\frac{1}{x-y})=\frac{2}{x-y}+\frac{1}{x+y}-\frac{2}{x+y}-\frac{1}{x-y}=\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}=\frac{x+y-x+y}{(x+y)(x-y)}=\frac{2y}{x^2-y^2}$;
(3)由题意可得$4+\frac{1}{x-2}=2+\frac{1}{4-2x}$,
解得$x=\frac{5}{4}$,经检验,$x=\frac{5}{4}$是分式方程的解,所以原方程的解为$x=\frac{5}{4}$.

7. 宋代是茶文化发展的第二个高峰,宋代的饮茶主要以点茶为主,煎茶为辅,在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏。某网店销售两种点茶器具套装,已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少$30$元,花$1480元购进甲种点茶器具套装的数量是花890元购进乙种点茶器具套装数量的2$倍。
(1)求甲、乙两种点茶器具套装的单价；
(2)某学校社团开展茶文化学习活动,从该网店购进甲、乙两种点茶器具套装共花了$2252$元,甲种点茶器具套装比乙种点茶器具套装多$2$套,则学校购进甲、乙两种点茶器具套装各多少套？

答案： 解:
(1)设甲种点茶器具套装的单价为x元,则乙种点茶器具套装的单价为$(x+30)$元,
由题意,得$\frac{1480}{x}=\frac{890}{x+30}×2$,解得$x=148$,经检验,$x=148$是原方程的解,且符合题意,
∴$x+30=178$,
答:甲种点茶器具套装的单价为 148 元,乙种点茶器具套装的单价为 178 元;
(2)设购进甲种点茶器具套装a套,则购进乙种点茶器具套装$(a-2)$套,
由题意可得$148a+178(a-2)=2252$,解得$a=8$,
∴$a-2=6$,
答:购进甲种点茶器具套装 8 套,乙种点茶器具套装 6 套.