《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

5. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D在AB$边上,$CB = CD$,将边$CA绕点C旋转到CE$的位置,使得$\angle ECA = \angle DCB$,连接$DE与AC交于点F$,且$\angle B = 70^{\circ}$,$\angle A = 10^{\circ}$.
(1)求证：$AB = ED$；
(2)求$\angle AFE$的度数.

答案： 解:
(1)证明:
∵∠ECA=∠DCB,
∴∠ECA+∠ACD=∠DCB+∠ACD,即∠DCE=∠BCA,由旋转可得CA=CE,在△BCA和△DCE中,CB=CD,∠BCA=∠DCE,AC=EC,
∴△BCA≌△DCE(SAS).
∴AB=ED;
(2)由
(1)中结论可得∠CDE=∠B=70°,又
∵CB=CD,易证∠B=∠CDB=70°,
∴∠EDA=180° - ∠BDE=180° - 70°×2=40°,
∴∠AFE=∠EDA+∠A=40°+10°=50°.

6. 已知：如图,$AB// CD$,$AB = CD$,$AD$,$BC相交于点O$,$BE// CF$,$BE$,$CF分别交AD于点E$,$F$.
(1)求证：$\triangle ABO\cong\triangle DCO$；
(2)求证：$BE = CF$.

答案： 证明:
(1)
∵AB//CD,
∴∠A=∠D,∠ABO=∠DCO,在△ABO和△DCO中,∠A=∠D,AB=DC,∠ABO=∠DCO,
∴△ABO≌△DCO(ASA);
(2)
∵△ABO≌△DCO,
∴BO=CO,
∵BE//CF,
∴∠OBE=∠OCF,∠OEB=∠OFC,在△OBE和△OCF中,∠OBE=∠OCF,∠OEB=∠OFC,OB=OC,
∴△OBE≌△OCF(AAS),
∴BE=CF.

7. 较难题 如图$1$,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$D为\triangle ABC$内一点,将线段$AD绕点A逆时针旋转90^{\circ}得到AE$,连接$CE$,$BD的延长线与CE交于点F$.
(1)求证：$BD = CE$,$BD\perp CE$；
(2)如图$2$,连接$AF$,$DC$,已知$\angle BDC = 135^{\circ}$,判断$AF与DC$的位置关系,并说明理由.

答案： 解:
(1)证明:设AC与BF交于点O,
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,
∴AD=AE,∠DAE=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAC=∠DAE,
∴易知∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,
∵∠AOB=∠COF,
∴∠BFC=∠BAC=90°,
∴BD⊥CE;
(2)AF//CD,理由如下:如图,作AG⊥BF于点G,AH⊥CE于点H,由
(1)知△ABD≌△ACE,
∴易知AG=AH.
∵∠AGF=∠AHF=90°,AF=AF,又易知∠HAF=∠AFD,
∴△AGF≌△FHA(SAS);
∴AG=HF,
∴AH=HF,
∴易知∠HFA=45°,
∴∠AFD=45°,
∵∠BDC=135°,
∴∠FDC=45°,
∴∠AFD=∠FDC,
∴AF//CD.

8. 易错题 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$D为BC$上一点,连接$AD$.过点$B作BE\perp AD于点E$,过点$C作CF\perp AD交AD的延长线于点F$.若$BE = 4$,$CF = 1$,则$EF$的长度为3.

答案： 3

9. 如图,点$C在BD$上,$AB\perp BD$,$ED\perp BD$,$AC\perp CE$,$AB = CD$.
求证：$\triangle ABC\cong\triangle CDE$.

答案： 证明:
∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,
∴∠B=∠D=∠ACE=90°,
∴∠DCE+∠DEC=90°,∠BCA+∠DCE=90°,
∴∠BCA=∠DEC,在△ABC和△CDE中,∠BCA=∠DEC,∠B=∠D,AB=CD,
∴△ABC≌△CDE(AAS).