《2025年全优课堂八年级数学上册冀教版》

19. (5 分)整体思想 已知$a - b - 1 = 0$,求代数式$\frac{3(a - 2b) + 3b}{a^2 - 2ab + b^2}$的值。

答案： 解:
∵$a - b - 1 = 0$,
∴$a - b = 1$,$\frac{3(a - 2b) + 3b}{a^2 - 2ab + b^2}=\frac{3a - 6b + 3b}{(a - b)^2}=\frac{3a - 3b}{(a - b)^2}=\frac{3(a - b)}{(a - b)^2}=\frac{3}{a - b}=\frac{3}{1}=3$.

20. (5 分)(1)已知关于$x的分式方程\frac{a}{x - 1} + \frac{3}{1 - x} = 1$。
①当$a = 5$时,求方程的解；
②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根,求$a$的值；
(2)关于$x的方程\frac{mx - 1}{x - 2} + \frac{1}{2 - x} = 2$有整数解,求此时整数$m$的值。

答案： 解:
(1)①当$a = 5$时,分式方程为$\frac{5}{x - 1} + \frac{3}{1 - x} = 1$,去分母得,$5 - 3 = x - 1$,解得$x = 3$,检验:当$x = 3$时,$x - 1 ≠ 0$,$\therefore x = 3$是原方程的解;
②$\frac{a}{x - 1} + \frac{3}{1 - x} = 1$,去分母得,$a - 3 = x - 1$,解得$x = a - 2$,由题意得$x - 1 = 0$,解得$x = 1$,$\therefore a - 2 = 1$,解得$a = 3$,$\therefore a$的值为3;
(2)$\frac{mx - 1}{x - 2} + \frac{1}{2 - x} = 2$,去分母得,$mx - 1 - 1 = 2(x - 2)$,解得$x = \frac{2}{2 - m}$,$\because$方程有整数解,$\therefore 2 - m = \pm 1$或$2 - m = \pm 2$且$\frac{2}{2 - m} ≠ 2$,解得$m = 1$或3或0或4且$m ≠ 1$,$\therefore m = 3$或0或4,$\therefore$此时整数$m$的值为3或0或4.

21. (5 分)过程纠错 嘉淇准备完成题目：解分式方程：$\frac{x}{x - 3} = 2 - \frac{◆}{3 - x}$,发现数字“◆”印刷不清楚。
(1)他把“◆”猜成$5$,请你解方程：$\frac{x}{x - 3} = 2 - \frac{5}{3 - x}$；
(2)他妈妈说：“你猜错了,我看到该题目的正确答案是此分式方程无解。”通过计算说明原题中“◆”是几？

答案： 解:
(1)方程整理得$\frac{x}{x - 3} = 2 + \frac{5}{x - 3}$,去分母得,$x = 2(x - 3) + 5$,解得$x = 1$,检验:当$x = 1$时,$x - 3 ≠ 0$,$\therefore$分式方程的解为$x = 1$;
(2)设原题中“◆”是$a$,方程变形得,$\frac{x}{x - 3} = 2 + \frac{a}{x - 3}$,去分母得,$x = 2(x - 3) + a$,由分式方程无解,得到$x = 3$,把$x = 3$代入整式方程得$a = 3$.

22. (8 分)应用意识 如图,“丰收 1 号”小麦的试验田是边长为$a m$($a ＞ 1$)的正方形去掉一个边长为$1m$的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收 2 号”小麦的试验田是边长为$(a - 1)m$的正方形,两块试验田的小麦都收获了$7500kg$。
(1)“丰收 1 号”的单位面积产量为$\frac{7500}{a^2 - 1}$$kg/m^2$,“丰收 2 号”的单位面积产量$\frac{7500}{(a - 1)^2}$$kg/m^2$；
(2)若“丰收 2 号”小麦试验田的单位面积产量是“丰收 1 号”小麦试验田的单位面积产量的$1.02$倍,求“丰收 2 号”小麦的试验田的边长。

解:根据题意,得$1.02×\frac{7500}{a^2 - 1}=\frac{7500}{(a - 1)^2}$,解得$a = 101$,经检验$a = 101$是原方程的解且符合题意,$\therefore a$的值是101,$\therefore a - 1 = 100$,答:“丰收2号”小麦的试验田的边长为100 m.

答案： 解:
(1)$\frac{7500}{a^2 - 1}$ $\frac{7500}{(a - 1)^2}$
(2)根据题意,得$1.02×\frac{7500}{a^2 - 1}=\frac{7500}{(a - 1)^2}$,解得$a = 101$,经检验$a = 101$是原方程的解且符合题意,$\therefore a$的值是101,$\therefore a - 1 = 100$,答:“丰收2号”小麦的试验田的边长为100 m.