《2025年课堂作业武汉出版社七年级数学上册人教版》

7.“圆形方孔钱”是中国古钱币的典型代表.如图,一枚圆形方孔钱的外圆直径为$a$,中间方孔边长为$b$,则阴影部分的面积是$\frac{\pi a^{2}}{4}-b^{2}$.

答案： 【解析】：本题主要考查了圆的面积公式和正方形的面积公式的应用。
已知外圆的直径为$a$，则外圆的半径为$\frac{a}{2}$。
根据圆的面积公式为：$\pi r^{2}$（其中$r$为半径），
所以，外圆的面积为：$\pi× (\frac{a}{2})^{2}=\frac{\pi a^{2}}{4}$。
已知中间方孔的边长为$b$。
根据正方形的面积公式为：$边长×边长$，
所以，方孔的面积为：$b × b = b^{2}$。
阴影部分的面积等于外圆的面积减去方孔的面积，
即：$阴影部分的面积=\frac{\pi a^{2}}{4}-b^{2}$。
【答案】：$\frac{\pi a^{2}}{4}-b^{2}$。

8.如图,正方形的边长为$2$,分别以正方形的两个相对顶点为圆心,以正方形的一边为半径画弧,则阴影部分的面积是$2\pi - 4$.

答案： 【解析】：本题主要考查了正方形和扇形的面积计算。
用两个扇形的面积之和减去正方形的面积，即可得到阴影部分的面积。
正方形的边长为$2$，所以正方形的面积为$2^2 = 4$。
扇形的半径等于正方形的边长，即$2$，圆心角为$90$度。
根据扇形面积公式$S=\frac{n\pi r^2}{360}$（其中$n$是圆心角，$r$是半径），可得一个扇形的面积为：
$\frac{90\pi × 2^2}{360}=\pi$。
那么两个扇形的面积之和为$2\pi$。
阴影部分的面积为两个扇形的面积之和减去正方形的面积，即$2\pi - 4$。
【答案】：$2\pi - 4$。

9.小明想把一块长为$60\ cm$、宽为$40\ cm$的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子,于是在长方形硬纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形(如图).设这些小正方形的边长为$x\ cm$.

(1)求图中阴影部分的面积.
(2)当$x = 5$时,求这个盒子的体积.

答案： 【解析】：本题主要考查了长方形面积公式和长方体体积公式的应用，以及代数式的代入求值。
（1）求阴影部分的面积：
原始长方形硬纸片的长为$60cm$，宽为$40cm$。
在四个角各剪去一个边长为$x cm$的小正方形后，
阴影部分的长变为$(60 - 2x) cm$，宽变为$(40 - 2x) cm$。
根据长方形面积公式：$面积 = 长 × 宽$，
所以，阴影部分的面积为：
$(60 - 2x)(40 - 2x) cm^2$，
展开得：
$(60 - 2x)(40 - 2x)$
$=60×40-60×2x-2x×40+4x^2$
$=2400 - 120x - 80x + 4x^2$
$=2400 - 200x + 4x^2 (cm^2)$
（2）求盒子的体积：
当$x = 5$时，代入上面得到的阴影部分面积公式，可以求出此时阴影部分的面积，即长方体盒子的底面积：
$2400 - 200×5 + 4×5^2 = 1500 (cm^2)$，
由于剪去的小正方形边长为$5cm$，所以长方体盒子的高为$5cm$。
根据长方体体积公式：$体积 = 底面积× 高$，
所以，盒子的体积为：
$1500 × 5 = 7500 (cm^3)$，
【答案】：（1）$(2400 - 200x + 4x^2) cm^2$；（2）$7500 cm^3$。

10.体育中心游泳馆的设计方案如图所示,其中半圆柱形休息区和长方形游泳区外的地方(阴影部分)都是自由活动区.已知$m = \frac{2}{3}a$,$n = \frac{1}{2}b$.

(1)自由活动区的面积为$\frac{2}{3}ab-\frac{π}{32}b²$(用含$a,b$的代数式表示).
(2)若按照相关要求：自由活动区的面积需要占游泳馆总面积的$\frac{5}{8}$及以上,且游泳馆的长与宽需要满足$a = \frac{3}{2}b$.那么这个设计方案是否符合要求？为什么？(请写出必要的计算及推理过程)

答案： $(1)\frac{2}{3}ab-\frac{π}{32}b²$
(2)这个设计方案不符合要求,理由如下:
当$a=\frac{3}{2}b$时,自由活动区的面积为:
$\frac{2}{3}ab-\frac{\pi}{32}b^{2}=\frac{2}{3}×\frac{3}{2}b^{2}-\frac{\pi}{32}b^{2}=\left(1-\frac{\pi}{32}\right)b^{2}$.
又因为游泳馆总面积为$ab=\frac{3}{2}b^{2}$,
所以$\left(1-\frac{\pi}{32}\right)b^{2}:\frac{3}{2}b^{2}=\frac{2}{3}-\frac{\pi}{48}$.
因为$\frac{2}{3}-\frac{\pi}{48}＜\frac{5}{8}$,
所以这个设计方案不符合要求.