《2025年课堂作业武汉出版社七年级数学上册人教版》

22.有若干个数,第1个数记为$a_{1}$,第2个数记为$a_{2}$,第3个数记为$a_{3}$,…,第$n个数记为a_{n}$,若$a_{1}= -\dfrac{1}{2}$,从第2个数起,每一个数都是“1”与它前面那个数的差的倒数.
(1)直接写出$a_{2},a_{3},a_{4}$的值.
(2)根据以上结果,计算$a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{2025}+a_{2026}$.

答案：
(1)因为$a_1=-\frac{1}{2}$,从第二个数起,每一个数都是“1”与它前面那个数的差的倒数,所以$a_2=\frac{1}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{2}{3}$,$a_3=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3$,$a_4=\frac{1}{1-3}=-\frac{1}{2}$.
(2)因为$a_1=-\frac{1}{2}$,$a_2=\frac{2}{3}$,$a_3=3$,$a_4=-\frac{1}{2}$,$\cdots$,所以这列数每 3 个数为一个周期循环.因为$2026÷3=675$(组)$\cdots\cdots1$,所以$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{2025}+a_{2026}=675×(-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+3)-\frac{1}{2}=2137$

23.$|x_{1}-1| + |x_{2}-2| + |x_{3}-3| + … + |x_{2025}-2025| + |x_{2026}-2026| = 0$,求$2^{x_{1}} - 2^{x_{2}} - 2^{x_{3}} - … - 2^{x_{2025}} + 2^{x_{2026}}$的值.

答案： 因为$|x_1-1|+|x_2-2|+|x_3-3|+\cdots+|x_{2025}-2025|+|x_{2026}-2026|=0$,所以$x_1=1$,$x_2=2$,$x_3=3$,$\cdots$,$x_{2025}=2025$,$x_{2026}=2026$,所以$2^{x_1}-2^{x_2}-2^{x_3}-\cdots-2^{x_{2025}}+2^{x_{2026}}=2-2^2-2^3-\cdots-2^{2025}+2^{2026}=2^{2026}-2^{2025}-\cdots-2^3-2^2+2=2^{2025}-2^{2024}-\cdots-2^3-2^2+2=2^{2024}-2^{2023}-\cdots-2^3-2^2+2=\cdots=2^2+2=4+2=6$

24.在线段$AB$上,先在点$A$处标注0,在点$B$处标注2010,称为第一次操作;然后在$AB的中点C处标注\dfrac{0+2010}{2}= 1005$,称为第二次操作;又分别在得到的线段$AC,BC的中点D,E$处标注对应线段两端所标注的数的和的一半,即$\dfrac{0+1005}{2}与\dfrac{1005+2010}{2}$,称为第三次操作.依次下去,那么经过十一次操作之后,在线段$AB$上所标注的所有数的和是多少?

答案： 通过分析发现:第 n 次操作时线段 AB 上有$(2^{n-1}-1)$个等分点,即会产生以点 A 为端点的线段有$2^{n-1}$条,而每一条线段的长度就是线段 AB 上出现的数.当第 11 次操作之后,会将线段 AB 分成$2^{10}$份相等的小段,其各分点代表的数依次为$\frac{1}{2^{10}}×2010$,$\frac{2}{2^{10}}×2010$,$\cdots$,$\frac{2^{10}-1}{2^{10}}×2010$,$2010$.所以,所有数的和为$\frac{1}{2^{10}}×2010+\frac{2}{2^{10}}×2010+\cdots+\frac{2^{10}-1}{2^{10}}×2010+2010=\frac{2^{10}-1}{2}×2010+2010=1030125$