《2025年课堂作业武汉出版社七年级数学上册人教版》

例 如图①,从边长为$a的正方形纸片中剪去一个边长为b$的小正方形,再沿着虚线$AB$剪开,把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形.


(1)设图①中阴影部分的面积为$S_1$,图②中阴影部分的面积为$S_2$,请直接用含$a,b的代数式表示S_1和S_2$.
(2)比较$S_1和S_2$的大小,并用含$a,b的代数式表示S_1和S_2$的大小关系.
分析：分别用正方形和梯形的面积公式表示图①和图②中阴影部分的面积,图形剪裁重新拼接,改变原图形的形状但不改变原图形的面积,所以所列代数式“形变质不变”.
解：(1)$S_1 = a^2 - b^2$；$S_2 = \frac{1}{2}(2b + 2a)(a - b) = (a + b)(a - b)$.
(2)$S_1 = S_2$,$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$.

答案： 【解析】：
(1) 对于图①，阴影部分的面积 $S_1$ 可以通过大正方形的面积减去小正方形的面积来计算，即 $S_1 = a^2 - b^2$。
对于图②，阴影部分是一个等腰梯形，其面积 $S_2$ 可以通过梯形的面积公式来计算，即 $S_2 = \frac{1}{2}(上底 + 下底）× 高$。
在这里上底是 $2b$，下底是 $2a$，高是 $a - b$。
所以，$S_2 = \frac{1}{2}(2b + 2a)(a - b) = (a + b)(a - b)$。
(2) 比较 $S_1$ 和 $S_2$ 的大小：
由于 $S_1 = a^2 - b^2$ 和 $S_2 = (a + b)(a - b)$，我们可以发现 $S_1 = S_2$，因为 $a^2 - b^2$ 可以因式分解为 $(a + b)(a - b)$。
【答案】：
(1) $S_1 = a^2 - b^2$；$S_2 = (a + b)(a - b)$
(2) $S_1 = S_2$

变式：如图,一个长方形花园,长为$a$,宽为$b$,中间有两条互相垂直且宽相等的小路,已知小路的宽为$c$,花园中小路以外的部分为花圃.

(1)用含$a,b,c$的代数式表示花圃的面积.
(2)若$a = 15\ m$,$b = 8\ m$,$c = 1\ m$,求花圃的面积.

答案： 【解析】：本题主要考查长方形面积公式以及代数式的应用。
（1）对于求花圃的面积，我们可以先求出整个长方形的面积，再减去小路的面积。
整个长方形花园的面积为长乘宽，即$S = ab$。
两条小路交叉部分是一个边长为$c$的正方形，其面积为$c^2$，两条小路如果不考虑交叉部分，各自面积为$ac$和$bc$，但由于交叉部分被重复计算了一次，所以小路的总面积为$ac + bc - c^2$。
那么花圃的面积$S_{花圃}=ab-(ac + bc - c^2)=ab - ac - bc + c^2$。
（2）当$a = 15m$，$b = 8m$，$c = 1m$时，将这些值代入（1）中所求的花圃面积代数式进行计算。
【答案】：
(1)花圃的面积为$(ab - ac - bc + c^2)$。
(2)当$a = 15m$，$b = 8m$，$c = 1m$时，
$S_{花圃}=15×8 - 15×1 - 8×1 + 1^2$
$=120 - 15 - 8 + 1$
$=105 - 8 + 1$
$=97 + 1$
$= 98(m^2)$
所以花圃的面积为$98m^2$。