《2025年课堂作业武汉出版社七年级数学上册人教版》

1.如图,边长为$a$的正方形中阴影部分的面积为(A).

A.$a^2 - \pi\left(\frac{a}{2}\right)^2$
B.$a^2 - \pi a^2$
C.$a^2 - \pi a$
D.$a^2 - 2\pi a$

答案： 【解析】：本题主要考查正方形和圆的面积公式，以及如何通过总面积减去空白部分面积来求得阴影部分面积。
正方形的面积公式为$S_{正方形}=边长×边长$。
已知正方形边长为$a$，所以正方形的面积为$S_{正方形}=a× a = a^{2}$。
观察图形可知，两个空白部分合起来刚好是一个完整的圆，圆的半径$r = \frac{a}{2}$。
圆的面积公式为$S_{圆}=\pi r^{2}$，将$r = \frac{a}{2}$代入可得：
$S_{圆}=\pi×(\frac{a}{2})^{2}=\pi×\frac{a^{2}}{4}=\frac{\pi a^{2}}{4}$。
阴影部分面积等于正方形的面积减去两个空白部分（即一个圆）的面积。
所以阴影部分面积$S = S_{正方形}-S_{圆}=a^{2}-\pi×(\frac{a}{2})^{2}$。
【答案】：A

2.如图,在边长为$a的正方形中挖掉一个边长为b$的小正方形($a ＞ b$),把余下的部分剪拼成一个长方形,通过计算两个图形中阴影部分的面积,验证了一个等式,这个等式是($a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$).

A.$a^2 - ab = a(a - b)$
B.$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
C.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
D.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

答案： 【解析】：本题可根据正方形和长方形的面积公式分别求出两个图形中阴影部分的面积，再通过对比得出等式。
步骤一：计算左边图形中阴影部分的面积
左边图形是一个边长为$a$的大正方形，在其中挖掉一个边长为$b$的小正方形，根据正方形的面积公式$S = 边长×边长$，可得大正方形的面积为$a^2$，小正方形的面积为$b^2$。
那么阴影部分的面积就等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即$a^2 - b^2$。
步骤二：计算右边图形中阴影部分的面积
右边图形是一个长方形，其长为$(a + b)$，宽为$(a - b)$，根据长方形的面积公式$S = 长×宽$，可得该长方形的面积为$(a + b)(a - b)$。
步骤三：通过面积相等得出等式
由于两个图形中的阴影部分是由同一个图形剪拼得到的，所以它们的面积相等，即$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
【答案】：D

3.一个圆柱的底面半径为$a\ cm$,高为$h\ cm$,则它的体积为$\pi a^{2} h$$cm^3$.

答案： 【解析】：
本题主要考察圆柱体积的计算公式。圆柱的体积 $V$ 可以通过底面半径 $a$ 和高 $h$ 来计算，公式为$V = \pi r^{2} h$，其中$r$为底面半径，$h$为高，在本题中底面半径即为$a$。
将$r$替换为$a$，得到圆柱的体积公式为$V = \pi a^{2} h$。
【答案】：
$\pi a^{2} h$

4.如图,从边长为$(a + 1)\ cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a - 1)\ cm$的正方形($a ＞ 1$),剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠、无缝隙),该矩形的面积是4a$cm^2$.

答案： 解：剩余部分的面积等于大正方形面积减去小正方形面积。
大正方形面积为$(a + 1)^2$，小正方形面积为$(a - 1)^2$。
$\begin{aligned}&(a + 1)^2 - (a - 1)^2\\=&(a^2 + 2a + 1) - (a^2 - 2a + 1)\\=&a^2 + 2a + 1 - a^2 + 2a - 1\\=&4a\end{aligned}$
故该矩形的面积是$4a$ $cm^2$。
答案：$4a$

5.下面四个整式中,能表示图中阴影部分面积的有______(填序号).

①$(x + 3)(x + 2) - 2x$；②$x(x + 3) + 6$；
③$3(x + 2) + x^2$；④$x^2 + 3x + 6$.
①②③④

答案： 【解析】：
首先，我们观察图形，大长方形的长为$x+3$，宽为$x+2$，所以大长方形的面积为$(x+3)(x+2)$。
然后，我们观察阴影部分，它由一个大正方形、一个小长方形和另一个小长方形的部分组成。
大正方形的边长为$x$，所以面积为$x^2$。
两个小长方形的长分别为$x$和$3$，宽都为$2$，但我们需要的是它们组合后的面积，即一个长为$x+3$，宽为$2$的长方形面积减去重合的部分（重合部分是一个长为$2$，宽为$x$和$3$重合的小长方形，但此处我们不需要单独计算它，因为我们已经通过组合长方形的形式避免了重复计算），所以组合后的面积为$2(x+3)-2×(重复计算的宽中多算的部分（此处为0，因为我们通过组合已经避免了重复）)=2x+6-0=2x+6$中的$2x$部分与大正方形不重叠，而$6$是两个小长方形中除了与大正方形重叠部分外的总面积。但更直观的理解是，阴影部分比大正方形多了两个小长方形的面积（不重复计算），即$x×2+3×2=2x+6$。
所以，阴影部分的面积可以表示为大长方形的面积减去右下角未阴影的小长方形的面积（面积为$2x$），即$(x+3)(x+2)-2x$，这是表达式①。
同时，阴影部分的面积也可以表示为大正方形面积加上两个小长方形的面积（不重复），即$x^2+2x+6$，化简得$x(x+3)+6$，这是表达式②；也可以表示为$3(x+2)+x^2$，这是表达式③（因为一个小长方形和宽为2长为x的部分组合为$x×2+3×2=2x+6$，可以写成$3×2+x×2=3(2)+x×(2的另一种组合形式，即3乘以(x的系数与2的和的另一种表达形式中的一部分)+x^2$，简化后即为$3(x+2)+x^2$）；最后，它还可以表示为$x^2+3x+6$，这是表达式④（这是将$x(x+3)+6$展开后得到的）。
所以，四个表达式都能表示阴影部分的面积。
【答案】：
①②③④

6.如图,池塘边有一块长为$18\ m$、宽为$10\ m$的长方形土地,现在将其余三面留出宽为$x\ m$的小路,中间余下的长方形部分做菜地.用代数式回答下列问题.

(1)菜地的长$a = $$(18 - 2x)$$m$,宽$b = $$(10 - x)$$m$.
(2)菜地的面积$S = $$(18 - 2x)(10 - x)$$m^2$.
(3)求当$x = 1\ m$时菜地的面积.
当$x = 1$时，$S=(18 - 2×1)(10 - 1)=16×9=144$，答：当$x = 1\ m$时菜地的面积为$144\ m^2$。

答案：
(1) 菜地的长 $a = (18 - 2x)$ m，宽 $b = (10 - x)$ m。
(2) 菜地的面积 $S = (18 - 2x)(10 - x)$ $m^2$。
(3) 当 $x = 1$ 时，
$S = (18 - 2×1)(10 - 1)$
$= (16)×(9)$
$= 144$
答：当 $x = 1$ m 时菜地的面积为 $144$ $m^2$。