《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

例2 已知一次函数$y = (m - 2)x - \frac{m^2}{4} + 1$.
(1)当$m$为何值时,函数图象过原点？
(2)当$m$为何值时,函数图象与$y轴交于点(0, -3)$？
(3)当$m$为何值时,函数图象平行于直线$y = 2x$？
思路提示 函数图象上的点一定满足函数关系,$k$值相同的两个一次函数的图象平行或重合.
尝试解答
小结反思 函数图象过原点时,$b = 0$. 图象平行于$x$轴时,点的纵坐标相等；平行于$y$轴时,点的横坐标相等. 图象与$x轴的交点坐标为(-\frac{b}{k}, 0)$,与$y轴的交点坐标为(0, b)$.

答案： $(1)$ 当函数图象过原点时
- 解：
已知一次函数$y=(m - 2)x-\frac{m^2}{4}+1$，函数图象过原点$(0,0)$，将$(0,0)$代入函数可得：
$0=(m - 2)×0-\frac{m^2}{4}+1$，即$-\frac{m^2}{4}+1 = 0$。
移项可得$\frac{m^2}{4}=1$，两边同时乘以$4$得$m^2 = 4$，解得$m=\pm2$。
又因为一次函数$y = kx + b$（$k\neq0$），这里$k=m - 2$，当$m = 2$时，$k=2-2 = 0$，不符合一次函数定义，所以舍去$m = 2$。
故$m=-2$。
$(2)$ 当函数图象与$y$轴交于点$(0,-3)$时
- 解：
因为函数$y=(m - 2)x-\frac{m^2}{4}+1$与$y$轴交于点$(0,-3)$，把$x = 0$，$y=-3$代入函数得：
$-3=(m - 2)×0-\frac{m^2}{4}+1$，即$-\frac{m^2}{4}+1=-3$。
移项可得$-\frac{m^2}{4}=-3 - 1=-4$，两边同时乘以$-4$得$m^2 = 16$，解得$m=\pm4$。
$(3)$ 当函数图象平行于直线$y = 2x$时
- 解：
对于一次函数$y_1=k_1x + b_1$，$y_2=k_2x + b_2$，若两直线平行，则$k_1 = k_2$且$b_1\neq b_2$。
已知一次函数$y=(m - 2)x-\frac{m^2}{4}+1$平行于直线$y = 2x$（$y = 2x$中$k = 2$，$b = 0$），则$m - 2=2$，解得$m=4$。
此时$-\frac{m^2}{4}+1=-\frac{4^2}{4}+1=-4 + 1=-3\neq0$，符合条件。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{m=-2}$；$(2)$$\boldsymbol{m=\pm4}$；$(3)$$\boldsymbol{m = 4}$。

变式训练2 已知一次函数$y = (1 - 4k)x + 3k - 6$,请解答下列问题：
(1)$k$为何值时,该函数的图象与直线$y = -3x + 1$平行？
(2)$k$为何值时,$y随x$增大而增大？
(3)$k$为何值时,该函数的图象经过第二、三、四象限？

答案： 1. **$(1)$求$k$为何值时，函数图象与直线$y = - 3x + 1$平行：
解：对于一次函数$y = k_1x + b_1$与$y = k_2x + b_2$，若两直线平行，则$k_1 = k_2$且$b_1\neq b_2$。
已知一次函数$y=(1 - 4k)x + 3k - 6$与$y=-3x + 1$平行，则$\begin{cases}1 - 4k=-3\\3k - 6\neq1\end{cases}$。
由$1 - 4k=-3$，移项可得$-4k=-3 - 1$，即$-4k=-4$，解得$k = 1$。
当$k = 1$时，$3k-6=3×1 - 6=-3\neq1$，所以$k = 1$。
2. **$(2)$求$k$为何值时，$y$随$x$增大而增大：
解：对于一次函数$y = kx + b$（$k\neq0$），当$k\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大。
对于函数$y=(1 - 4k)x + 3k - 6$，令$1 - 4k\gt0$。
移项可得$-4k\gt - 1$，两边同时除以$-4$，根据不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，得$k\lt\frac{1}{4}$。
3. **$(3)$求$k$为何值时，函数图象经过第二、三、四象限：
解：对于一次函数$y = kx + b$（$k\neq0$），若图象经过第二、三、四象限，则$\begin{cases}k\lt0\\b\lt0\end{cases}$。
对于函数$y=(1 - 4k)x + 3k - 6$，则$\begin{cases}1 - 4k\lt0\\3k - 6\lt0\end{cases}$。
解不等式$1 - 4k\lt0$：
移项得$-4k\lt - 1$，两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$k\gt\frac{1}{4}$。
解不等式$3k - 6\lt0$：
移项得$3k\lt6$，两边同时除以$3$，得$k\lt2$。
所以$\frac{1}{4}\lt k\lt2$。
综上，答案依次为：$(1)k = 1$；$(2)k\lt\frac{1}{4}$；$(3)\frac{1}{4}\lt k\lt2$。

1. 在平面直角坐标系中,一次函数$y = x - 1$的图象是(B).

答案： B

2. 一次函数$y = -2x + 4的图象与y$轴的交点坐标是(A).
A.$(0, 4)$
B.$(4, 0)$
C.$(2, 0)$
D.$(0, 2)$

答案： A

3. 下列直线中与直线$y = -3x + 5$平行的是(C).
A.$y = 5x$
B.$y = -5x + 3$
C.$y = -3x + 1$
D.$y = 3x$

答案： C

4. 若一次函数$y = kx + b满足kb ＞ 0$,且$y随x$的增大而减小,则该函数的图象不经过(A).
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： A

5. 已知一次函数$y = kx - m - 2x的图象与y$轴的负半轴相交,且函数值$y随自变量x$的增大而减小,则下列结论中正确的是(B).
A.$k ＜ 2, m ＜ 0$
B.$k ＜ 2, m ＞ 0$
C.$k ＞ 2, m ＞ 0$
D.$k ＜ 0, m ＜ 0$

答案： B