《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

17. 如图 6,已知乙中的实数与甲中的实数之间的对应关系是某个一次函数.
(1)若用 $ y $ 表示乙中的实数,用 $ x $ 表示甲中的实数,求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式;
(2)求 $ m + n $ 的值.

答案：
(1)设一次函数的解析式为y=kx+b,根据题意得{-3k+b=9,b=-3,解得{k=-4,b=-3,该函数解析式为y=-4x-3.
(2)
∵在函数y=-4x-3中，当x=-1时,n=1；当y=5时,m=-2，
∴m+n=-2+1=-1.

18. 如图 7,直线 $ y = - \frac { 4 } { 3 } x + 8 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $ 和点 $ B $,$ M $ 是 $ OB $ 上一点. 若将 $ \triangle ABM $ 沿 $ AM $ 折叠,使点 $ B $ 恰好落在 $ x $ 轴上的点 $ B ^ { \prime } $ 处.
(1)点 $ A $ 的坐标为$(6,0)$,点 $ B $ 的坐标为$(0,8)$;
(2)求点 $ M $ 的坐标;
(3)求直线 $ AM $ 的解析式.

(2)设点$ M $的坐标为$(0, m)$，则$ OM = m $，$ BM = 8 - m $。

因为直线$ y = -\frac{4}{3}x + 8 $与$ x $轴交于点$ A $，与$ y $轴交于点$ B $，所以当$ y = 0 $时，$ 0 = -\frac{4}{3}x + 8 $，解得$ x = 6 $，即$ A(6, 0) $；当$ x = 0 $时，$ y = 8 $，即$ B(0, 8) $，所以$ OA = 6 $，$ OB = 8 $。

由折叠的性质可知，$ AB' = AB $，$ B'M = BM = 8 - m $。

在$ Rt\triangle AOB $中，$ AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 $，所以$ AB' = 10 $。

因为点$ B' $在$ x $轴上，且点$ A $的坐标为$(6, 0)$，所以当点$ B' $在点$ A $左侧时，$ OB' = AB' - OA = 10 - 6 = 4 $，则点$ B' $的坐标为$(-4, 0)$；当点$ B' $在点$ A $右侧时，$ OB' = OA + AB' = 6 + 10 = 16 $，此时点$ B' $的坐标为$(16, 0)$，但由折叠可知$ BM = B'M $，若$ B' $在$ (16, 0) $，则$ B'M = \sqrt{(16 - 0)^2 + (0 - m)^2} = \sqrt{256 + m^2} $，而$ BM = 8 - m $，$\sqrt{256 + m^2} = 8 - m$，两边平方得$256 + m^2 = 64 - 16m + m^2$，即$256 = 64 - 16m$，$16m = -192$，$m = -12$，因为$ M $在$ OB $上，$ m \geq 0 $，所以舍去，故点$ B' $的坐标为$(-4, 0)$。

在$ Rt\triangle OB'M $中，$ OB' = 4 $，$ OM = m $，$ B'M = 8 - m $，由勾股定理得$ OB'^2 + OM^2 = B'M^2 $，即$4^2 + m^2 = (8 - m)^2$，$16 + m^2 = 64 - 16m + m^2$，$16m = 48$，解得$ m = 3 $，所以点$ M $的坐标为$(0, 3)$。

(3)设直线$ AM $的解析式为$ y = kx + b $，因为直线$ AM $过点$ A(6, 0)$和点$ M(0, 3)$，所以将$(6, 0)$和$(0, 3)$代入解析式得$\begin{cases}6k + b = 0 \\ b = 3\end{cases}$，将$ b = 3 $代入$6k + 3 = 0$，解得$ k = -\frac{1}{2}$，所以直线$ AM $的解析式为$ y = -\frac{1}{2}x + 3$。

答案： $(1)(6,0) (0,8) (2)M(0,3)(3)y=-\dfrac{1}{2}x+3$

19. 如图 8,直线 $ l _ { 1 } $ 与 $ x $ 轴,$ y $ 轴分别交于点 $ A $,点 $ B ( 0,1 ) $;直线 $ l _ { 2 } : y = - x + 4 $ 与 $ x $ 轴,$ y $ 轴分别交于点 $ C $,点 $ D $;直线 $ l _ { 1 } $ 与 $ l _ { 2 } $ 交于点 $ E ( 2,m ) $.
(1)求 $ m $ 的值和直线 $ l _ { 1 } $ 的表达式;
(2)点 $ G $ 是 $ x $ 轴上的一个动点,连接 $ GB,GE $,求 $ GB + GE $ 的最小值和此时点 $ G $ 的坐标;
(3)在直线 $ CD $ 上是否存在一点 $ P $,使得 $ \triangle BEP $ 的面积等于 5? 若存在,请求出点 $ P $ 的坐标;若不存在,请说明理由.

答案： $(1)m=2,y=\dfrac{1}{2}x+1.(2)GB+GE$的最小值为$\sqrt{13},$此时G点的坐标为$(\dfrac{2}{3},0)；$
(3)存在,点P的坐标为$(-\dfrac{4}{3},\dfrac{16}{3})$或$(\dfrac{16}{3},-\dfrac{4}{3}).$