《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

变式训练2 有下列四个说法,其中正确的是③④。
①因为 $0.3$,$0.4$,$0.5$ 不是勾股数,所以以 $0.3$,$0.4$,$0.5$ 为边长的三角形不是直角三角形；
②若以 $0.5$,$1.2$,$1.3$ 为边长的三角形是直角三角形,则 $0.5$,$1.2$,$1.3$ 是勾股数；
③若 $a$,$b$,$c$ 是勾股数,且 $c$ 最大,则一定有 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$；
④若三个整数 $a$,$b$,$c$ 是直角三角形的三条边长,则 $2a$,$2b$,$2c$ 一定是勾股数。

答案： 1. 首先分析①：
根据勾股定理的逆定理，若$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则以$a$，$b$，$c$为边的三角形是直角三角形。
对于$0.3$，$0.4$，$0.5$，有$0.3^{2}+0.4^{2}=0.09 + 0.16=0.25=0.5^{2}$，所以以$0.3$，$0.4$，$0.5$为边长的三角形是直角三角形，只是勾股数是正整数，$0.3$，$0.4$，$0.5$不是勾股数，故①**错误**。
2. 然后分析②：
勾股数是满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的正整数$a$，$b$，$c$。
虽然$0.5^{2}+1.2^{2}=0.25 + 1.44 = 1.69=1.3^{2}$，但$0.5$，$1.2$，$1.3$不是正整数，所以$0.5$，$1.2$，$1.3$不是勾股数，故②**错误**。
3. 接着分析③：
若$a$，$b$，$c$是勾股数，且$c$最大，根据勾股数的定义（满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的三个正整数$a$，$b$，$c$），则一定有$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，故③**正确**。
4. 最后分析④：
因为$a$，$b$，$c$是直角三角形的三条边长，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
对于$2a$，$2b$，$2c$，$(2a)^{2}+(2b)^{2}=4a^{2}+4b^{2}=4(a^{2}+b^{2})$，$(2c)^{2}=4c^{2}$。
由于$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以$(2a)^{2}+(2b)^{2}=(2c)^{2}$，且$2a$，$2b$，$2c$都是正整数，所以$2a$，$2b$，$2c$一定是勾股数，故④**正确**。
综上，③④正确。

例2 如图 1 - 2 - 1,在四边形 $ABCD$ 中,$\angle D = 90^{\circ}$,$AB = 12$,$CD = 3$,$DA = 4$,$BC = 13$,求 $S_{四边形ABCD}$。
思路提示 连接 $AC$,把四边形 $ABCD$ 分割成两个三角形。$\triangle ADC$ 是直角三角形,再证 $\triangle ABC$ 也是直角三角形,可计算出四边形 $ABCD$ 的面积。
尝试解答
小结反思 此题既运用了勾股定理又运用了直角三角形的判别条件。

答案： 解：连接$AC$。
在$Rt\triangle ADC$中，$\angle D = 90^{\circ}$，根据勾股定理$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$，已知$AD = 4$，$CD = 3$，则$AC^{2}=4^{2}+3^{2}=16 + 9=25$，所以$AC = 5$。
在$\triangle ABC$中，$AB = 12$，$BC = 13$，$AC = 5$。
因为$AB^{2}+AC^{2}=12^{2}+5^{2}=144 + 25=169$，$BC^{2}=13^{2}=169$，所以$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$。
根据勾股定理的逆定理可知$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle BAC = 90^{\circ}$。
$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ADC}$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB× AC=\frac{1}{2}×12×5 = 30$，$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AD× CD=\frac{1}{2}×4×3 = 6$。
所以$S_{四边形ABCD}=30 - 6=24$。
综上，四边形$ABCD$的面积为$24$。

1. 木工师傅想利用木条制作一个形状为直角三角形的工具,下列各组数据(单位：米)中不符合直角三角形的三条边长的是(A)。
A.$1$,$2$,$3$
B.$3$,$4$,$5$
C.$7$,$24$,$25$
D.$9$,$12$,$15$

答案： A

2. 下列条件中不能判定 $\triangle ABC$ 是直角三角形的是(B)。
A.$\angle A = \angle B + \angle C$
B.$\angle A:\angle B:\angle C = 3:4:5$
C.$a^{2} = (b + c)(b - c)$
D.$a:b:c = 5:12:13$

答案： B

3. 现有五根小木棒的长度(单位：$cm$)分别为 $8$,$9$,$12$,$15$,$17$,用它们摆成两个直角三角形,下列选项中正确的是(C)。

答案： C