《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

例2
一只蚂蚁沿图2-1-6所示的线段从点A爬到点B,图中每个小方格的边长都是1.

(1)这只蚂蚁爬行路线的长度是一个有理数吗？若不是,求出误差不大于1的近似值,你还能求出误差不大于0.1的近似值吗？
(2)如果这只蚂蚁只能沿着图中小方格的边爬行,那么从点A到点B,它爬行的最短距离是多少？

答案：
(1)
由勾股定理，$AB$的长度为$\sqrt{3^{2} + 4^{2}}+\sqrt{2^{2} + 3^{2}} =\sqrt{9 + 16}+\sqrt{4 + 9}= 5 + \sqrt{13}$。
因为$\sqrt{13}$是无理数，所以$5+\sqrt{13}$不是有理数。
误差不大于$1$的近似值：因为$3\lt\sqrt{13}\lt4$，所以$5 + \sqrt{13}$的近似值取$8$。
误差不大于$0.1$的近似值：因为$3.6\lt\sqrt{13}\approx3.606\lt3.7$，所以$5+\sqrt{13}\approx8.6$。
(2)
蚂蚁沿格边爬行，水平方向走$5$个单位，竖直方向走$5$个单位，最短距离为$5 + 5 = 10$。

1. 下列说法中正确的是(D).
A.不循环小数是无理数
B.分数不是有理数
C.有理数都是有限小数
D.$3.141\ 592\ 6$是有理数

答案： D

2. 下列各数：①面积为7的正方形的边长；②体积是27的正方体的棱长；③两直角边长分别是3和5的直角三角形的斜边长；④长为3、宽为2的长方形的对角线的长. 其中,不是有理数的有(C).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： C

3. (2024·青岛中考)实数$a,b,c,d$在数轴上对应点的位置如图2-1-7,这四个实数中绝对值最小的是(C).


A.$a$
B.$b$
C.$c$
D.$d$

答案： C

4. 在$\frac{1}{3},\pi,2.030\ 030\ 003…$(相邻两个3之间0的个数逐次加1),$-1,1.\dot{2}\dot{3},3.214\ 58$中,有理数有4个,无理数有2个.

答案： 4 2

5. 已知直角三角形的两条直角边分别是4和5,这个直角三角形的斜边的长度在两个相邻的整数6和7之间.

答案： 6 7