《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

1. 含有三个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1,这样的方程叫作三元一次方程.

答案： 三，次数

2. 三元一次方程组中各个方程的公共解叫作这个三元一次方程组的解.

答案： 方程的公共解

3. 解三元一次方程组的基本思路是消元,解三元一次方程组的一般方法是代入消元法、加减消元法.

答案： 消元；代入；加减

＞ 例 解方程组：(1)$\begin{cases}2x - y = 7, &①\\x + 2y + 5z = 1, &②\\3x - 7y + z = 4;&③\end{cases} $ (2)$\begin{cases}3x - y + 2z = 3, &①\\2x + y - 3z = 11, &②\\x + y + z = 12.&③\end{cases} $
思路提示 设法将三元$\xrightarrow{转化}二元\xrightarrow{转化}$一元. 观察方程组,(1)①中含有两个未知数,可以变形为$y = 2x - 7$④,把④分别代入②,③,便于消去$y$,得到一个关于$x$,$z$的二元一次方程组,通过求解$x$,$z便可求出y$的值,从而达到解三元一次方程组的目的. (2)根据方程中系数的特点,将方程①分别与方程②、方程③组成两组,利用加减法消去$y$.
尝试解答
小结反思 解三元一次方程组,要根据各方程的特点,灵活地确定消元步骤和消元方法,不要盲目消元.

答案： 例
(1)$\left\{\begin{array}{l} x=4,\\ y=1,\\ z=-1.\end{array}\right. $
(2)$\left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=8,\\ z=1.\end{array}\right. $

变式训练 1 已知$a$,$b$,$c满足a + 2b + 3c = 30$,$3a + 2b + c = 50$,则$a + b + c = $20.

答案： 变式训练 1 20 变式训练 2$\left\{\begin{array}{l} 2x+y=10,\\ 4x-3y=5\end{array}\right. $

变式训练 2 将三元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 10,\\x - 2y + z = 4,\\3x - y - z = 1\end{cases} 消去未知数z$,得到的二元一次方程组为______.

答案： 变式训练 2：
$\begin{cases}2x + y = 10 \\ x - 2y + z = 4 \\ 3x - y - z = 1\end{cases}$
将第二个方程和第三个方程相加消去$z$：
$(x - 2y + z) + (3x - y - z) = 4 + 1$
$4x - 3y = 5$
得到的二元一次方程组为$\begin{cases}2x + y = 10 \\ 4x - 3y = 5\end{cases}$
答案：20；$\begin{cases}2x + y = 10 \\ 4x - 3y = 5\end{cases}$