《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

1. 二元一次方程与一次函数的关系(举例说明如下)：
- (1)二元一次方程 $x + y = 5$ 有______个解,以它的每一个解为坐标的点都在一次函数 $y = -x + 5$ 的______上. 反过来,一次函数 $y = -x + 5$ 的______上的每一个点的坐标均适合二元一次方程 $x + y = 5$.\n(2)因为 $x + y = 5$ 与 $y = -x + 5$ 可以通过移项得到,所以二元一次方程 $x + y = 5$ 与一次函数 $y = -x + 5$ 实质是同一个等式.

答案： 1. 无数；图象；图象。

2. 二元一次方程组的解与一次函数的图象的交点关系(举例说明如下)：
一次函数 $y = -x + 5$,$y = 2x - 1$ 的图象的交点 $(2,3)$ 既在直线 $y = 5 - x$ 上,满足二元一次方程 $x + y = 5$；又在直线 $y = 2x - 1$ 上,同样满足方程 $2x - y = 1$. 点 $(2,3)$ 同时满足两个二元一次方程 $x + y = 5$,$2x - y = 1$,则必定是二元一次方程组 $\begin{cases}x + y = 5,\\2x - y = 1\end{cases} $ 的解. 因此可以借助一次函数图象的交点坐标求二元一次方程组的解.

答案： 交点坐标

3. 已知直线 $y = k_1x + b_1$ 与 $y = k_2x + b_2$ 平行,则$k_1 = k_2$且$b_1 \neq b_2$.

答案： $k_1 = k_2$且$b_1 \neq b_2$

例1
已知二元一次方程 $x + y = 3$ 与 $3x - y = 5$ 有同一组解,那么一次函数 $y = 3 - x$ 与 $y = 3x - 5$ 在平面直角坐标系内的交点坐标为(B).
思路提示 求 $x + y = 3$ 与 $3x - y = 5$ 组成的方程组的解,可以画 $y = 3 - x$,$y = 3x - 5$ 的图象,求出交点坐标. 方程组的解与交点坐标是同一对数.
小结反思 若两直线有交点,则交点坐标对应的值是其组成的方程组的解；若两直线无交点即两直线平行,则其组成的方程组无解.
A.$(1,2)$
B.$(2,1)$
C.$( - 1,2)$
D.$( - 2,1)$

答案： B