《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

9. 若二次根式$\sqrt{\dfrac{1}{1 - x}}$在实数范围内有意义,则$x$的取值范围是x＜1。

答案： x＜1

10. 阅读材料并回答下面的问题。
如果一个三角形的三边长分别为$a$,$b$,$c$,记$p= \dfrac{a + b + c}{2}$,那么这个三角形的面积可由以下公式求得：$S= \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$,这个公式被称为“海伦公式”,它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式。
如图2-3-1,在$\triangle ABC$中,$a = 8$,$b = 5$,$c = 7$。
(1)直接写出$p$的值,$p=$10；
(2)求$\triangle ABC$的面积；
(3)过点$A作AD\perp BC$,垂足为点$D$,求线段$CD$的长。

(2)$S_{\triangle ABC}=\sqrt{10×(10-5)×(10-7)×(10-8)}=\sqrt{10×5×3×2}=10\sqrt{3}$.
(3)$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD$,$\therefore \frac{1}{2}×8× AD=10\sqrt{3}$,解得$AD=\frac{5\sqrt{3}}{2}$.在Rt△ACD中，AC=5，AD=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$,$\therefore CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{5^{2}-(\frac{5\sqrt{3}}{2})^{2}}=\frac{5}{2}$.

答案：
(1)10
(2)$S_{\triangle ABC}=\sqrt{10×(10-5)×(10-7)×(10-}=\sqrt{10×5×3×2}=10\sqrt{3}$.
(3)$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD$,$\therefore \frac{1}{2}×8× AD=10\sqrt{3}$,解得$AD=\frac{5\sqrt{3}}{2}$.在Rt△ACD中，AC=5，AD=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$,$\therefore CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{5^{2}-(\frac{5\sqrt{3}}{2})^{2}}=\frac{5}{2}$.