《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

例2
已知$y= (m + 1)x^{2 - |m|}+n + 4$.
(1)当$m$,$n$为何值时,$y是x$的一次函数？写出函数表达式；
(2)当$m$,$n$为何值时,$y是x$的正比例函数？写出函数表达式.
尝试解答
小结反思 利用函数的定义来确定参数的取值. 一次函数满足$k\neq0$即可；正比例函数需满足$k\neq0$,$b = 0$两个条件.

答案：
(1)根据一次函数的定义,得2-$|m|=1$,解得$m=\pm 1$.又$\because m+1\neq 0$即$m\neq -1$,$\therefore$当$m=1$,$n$为任意实数时,这个函数是一次函数,$\therefore$函数表达式为$y=2x+n+4$.
(2)根据正比例函数的定义,得$2-|m|=1$,$n+4=0$,解得$m=\pm 1$,$n=-4$.又$\because m+1\neq 0$即$m\neq -1$,$\therefore$当$m=1$,$n=-4$时,这个函数是正比例函数,$\therefore$函数表达式为$y=2x$.

有下列函数：①$y = -\sqrt{2}x$；②$y = kx$；③$y= (k^{2}+1)x$；④$y= \frac{2}{x}$；⑤$y = 2x - 3$.其中$y是x$的正比例函数的有(B).
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

答案： B

有下列函数解析式：①$y = kx + b$；②$y= \frac{3}{x}$；③$y= \frac{2}{3}x$；④$y = x^{2}-x(x + 2)$；⑤$y = -x + 4$.其中一定是一次函数的有(B).
A.$4$个
B.$3$个
C.$2$个
D.$1$个

答案： B

1. 下面各组变量的关系中成正比例关系的是(D).
A.人的身高与年龄
B.汽车从甲地行驶到乙地,所用时间与行驶速度
C.正方形的面积与它的边长
D.圆的周长与它的半径

答案： D

2. 下列函数：①$y = \pi x$；②$y = 2x - 1$；③$y= \frac{1}{x}$；④$y = 2 - 3x$；⑤$y = x^{2}-1$,其中是一次函数的有(B).
A.$4$个
B.$3$个
C.$2$个
D.$1$个

答案： B

3. (2024·甘肃中考)“燕几（jī）”是古代的一套组合桌. 全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张，每张桌面的宽都相等. 七张桌子分开可桌组合成不同的图形. 如图4 - 2 - 1给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式. 设每张桌面的宽为$x$尺，长桌的长为$y$尺，则$y$与$x$的关系可以表示为（B）.
A.$y = 3x$
B.$y = 4x$
C.$y = 3x + 1$
D.$y = 4x + 1$

答案： B

4. 若函数$y=(m - 3)x^{m - 1}+(b + 3)$是关于$x$的一次函数，则$m$的值为（C）.
A.$3$
B.$1$
C.$2$
D.$3$或$1$

答案： C