《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

1. 算术平方根的定义：一般地,如果一个正数 $x$ 的平方等于 $a$,即$x^{2}=a$,那么这个正数 $x$ 就叫作 $a$ 的算术平方根,记作$\sqrt{a}$,读作“根号$a$”。

答案： 正数；$x^{2}=a$；正数；$\sqrt{a}$；根号$a$

2. 特别地,我们规定：$0$ 的算术平方根是$0$,即$\sqrt{0} = 0$。

答案： $0$；$\sqrt{0} = 0$

3. 当 $a\geqslant 0$ 时,$\sqrt{a^{2}}= $$a$,$(\sqrt{a})^{2}= $$a$；当 $a\lt 0$ 时,$\sqrt{a^{2}}= $$-a$。

答案： 【解析】：
当 $a \geqslant 0$ 时：
根据算术平方根的定义，$\sqrt{a^{2}}$ 表示 $a^{2}$ 的非负平方根。
因为 $a \geqslant 0$，所以 $\sqrt{a^{2}} = a$（$a$非负）。
同样，$(\sqrt{a})^{2}$ 表示 $a$ 的算术平方根的平方，即$a$本身（$a$非负）。
当 $a \lt 0$ 时：
根据算术平方根的定义，$\sqrt{a^{2}}$ 仍然是 $a^{2}$ 的非负平方根。
但由于 $a$ 是负数，所以 $\sqrt{a^{2}}$ 不能简化为 $a$，而应保持为 $-a$（因为$a^{2}$的非负平方根是正数，且等于$a$的绝对值，即$-a$）。
【答案】：
当 $a \geqslant 0$ 时，$\sqrt{a^{2}}=a$，$(\sqrt{a})^{2}=a$；
当 $a \lt 0$ 时，$\sqrt{a^{2}}=-a$（或写成绝对值形式$|a|$，但在此题中要求填具体形式，故为$-a$）。
由于本题为填空题，无选项，故以文字描述答案：
当 $a \geqslant 0$ 时，答案依次为$a$；$a$；
当 $a \lt 0$ 时，答案为$-a$。

例 1
求下列各数的算术平方根：
(1)$121$； (2)$1$； (3)$\dfrac{25}{144}$； (4)$1\dfrac{7}{9}$； (5)$15$。
思路提示 根据算术平方根的定义,分别求出这些数的算术平方根。
尝试解答
小结反思 ①求一个正数的算术平方根,只要先找出一个正数的平方等于这个数,不必考虑负数平方等于这个数；②如果一个数为带分数,一般先化为假分数,再求其算术平方根。

答案： （1)11
(2)1
(3)$\frac{5}{12}$
(4)$\frac{4}{3}$
(5)$\sqrt{15}$

变式训练 1 (2024·四川攀枝花中考)$2$ 的算术平方根是(C)。
A.$2$
B.$\pm 2$
C.$\sqrt{2}$
D.$\pm \sqrt{2}$

答案： C