《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

15. 如图 8,点 $ M,N $(点 $ M $ 在 $ N $ 的左侧)把线段 $ AB $ 分割成 $ AM,MN,NB $ 三条线段. 若以 $ AM,MN,NB $ 为边的三角形是一个直角三角形,则称点 $ M,N $ 是线段 $ AB $ 的“勾股分割点”.
(1) 已知点 $ M,N $ 把线段 $ AB $ 分割成 $ AM,MN,BN $ 三条线段,若 $ AM = 1.5,MN = 2.5,BN = 2.0 $,则点 $ M,N $ 是线段 $ AB $ 的“勾股分割点”吗？请说明理由；
(2) 已知点 $ M,N $ 是线段 $ AB $ 的“勾股分割点”,且 $ AM $ 为直角边. 若 $ AB = 30,AM = 5 $,求 $ BN $ 的长.

答案：
(1)
∵$AM^{2}+BN^{2}=1.5^{2}+2^{2}=6.25$，$MN^{2}=2.5^{2}=6.25$，
∴$AM^{2}+NB^{2}=MN^{2}$，
∴以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M，N是线段AB的“勾股分割点”.
(2)设BN = x，则MN = 30 - AM - BN = 25 - x.
①当MN为最大线段时，依题意$MN^{2}=AM^{2}+NB^{2}$，即$(25 - x)^{2}=x^{2}+25$，解得x = 12；
②当BN为最大线段时，依题意$BN^{2}=AM^{2}+MN^{2}$，即$x^{2}=25+(25 - x)^{2}$，解得x = 13.
综上所述，BN = 12或13.

16. 勾股定理的证法多样,巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感. 他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形按图 9①或图 9②所示摆放时,都可以用“面积法”来证明勾股定理. 下面是小聪利用图 9①证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图 9①所示摆放,其中 $ \angle DAB = 90^{\circ} $,求证：$ a^{2}+b^{2}= c^{2} $.
证明：连接 $ DB $,过点 $ D $ 作 $ BC $ 边上的高 $ DF $,则 $ DF = EC = b - a $.
$ \because S_{四边形ADCB}= S_{\triangle ACD}+S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab $,
又 $ \because S_{四边形ADCB}= S_{\triangle ADB}+S_{\triangle DCB}= \frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a) $,
$ \therefore \frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab= \frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a) $,
$ \therefore a^{2}+b^{2}= c^{2} $.
请参照上述证法,利用图 9②完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图 9②所示摆放,其中 $ \angle DAB = 90^{\circ} $,求证：$ a^{2}+b^{2}= c^{2} $.

答案：
连接BD，过点B作DE边上的高BF，可得BF = b - a.

∵$S_{五边形ACBED}=S_{\triangle ACB}+S_{\triangle ABE}+S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab$，又
∵$S_{五边形ACBED}=S_{\triangle ACB}+S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$，
∴$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$，
∴$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.